圖1)扁球面坐標系的幾個坐標曲面 。紅色扁球面的
μ
=
1
{\displaystyle \mu =1}
。藍色半雙曲面的
ν
=
45
∘
{\displaystyle \nu =45^{\circ }}
。黃色半平面的
ϕ
=
−
60
∘
{\displaystyle \phi =-60^{\circ }}
(黃色半平面與xz-半平面之間的二面角 角度是
−
60
∘
{\displaystyle -60^{\circ }}
)。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P(以黑色的圓球表示),直角坐標 大約為
(
1.09
,
−
1.89
,
1.66
)
{\displaystyle (1.09,\ -1.89,\ 1.66)}
。
圖2)橢圓坐標系繪圖。橫軸是x-軸,豎軸是z-軸。紅色橢圓(
μ
{\displaystyle \mu }
-等值線)變成上圖的紅色扁球面(
μ
{\displaystyle \mu }
坐標曲面),而
x
>
0
{\displaystyle x>0}
青藍色雙曲線(
ν
{\displaystyle \nu }
-等值線)則變成藍色半雙曲面(
ν
{\displaystyle \nu }
坐標曲面)。
扁球面坐標系 (英語:Oblate spheroidal coordinates )是一種三維正交坐標系 。設定二維橢圓坐標系 包含於xz-平面;兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的直角坐標 分別為
(
−
a
,
0
,
0
)
{\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)}
與
(
a
,
0
,
0
)
{\displaystyle (a,\ 0,\ 0)}
。將橢圓坐標系繞着z-軸旋轉,則可以得到扁球面坐標系。(假若,繞着y-軸旋轉,則可以得到長球面坐標系 。)橢圓坐標系的兩個焦點,變為一個半徑為
a
{\displaystyle a}
的圓圈,包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓 ,又稱為參考圓 。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系 的極限案例,其兩個最大的半軸的長度相同。
當邊界條件涉及扁球面 或旋轉雙曲面 時,扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式 。例如,關於佩蘭摩擦因子 (Perrin friction factors )的計算,扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭 因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎 。佩蘭摩擦因子決定了分子 的旋轉擴散 (rotational diffusion )。這程序又影響了許多科技,像蛋白質 核磁共振 光譜學 (protein NMR ),的可行性。應用這程序,我們可以推論分子的流體動力 體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學 (例如,扁球形帶電的分子的電容率 ),聲學 (例如,聲音通過圓孔時產生的散射),流體動力學 (水通過消防水帶的噴口),擴散理論 (紅熱的錢幣在水裏的冷卻),等等方面的問題。
在三維空間裏,一個點P的扁球面坐標
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
常見的定義是
x
=
a
cosh
μ
cos
ν
cos
ϕ
{\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi }
、
y
=
a
cosh
μ
cos
ν
sin
ϕ
{\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi }
、
z
=
a
sinh
μ
sin
ν
{\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
。
其中,
μ
≥
0
{\displaystyle \mu \geq 0}
是個實數,角度
−
90
∘
≤
ν
≤
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }}
,角度
−
180
∘
≤
ϕ
≤
180
∘
{\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}
。
學術界比較中意這一種扁球面坐標,因為沒有簡併 ;三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。
μ
{\displaystyle \mu }
坐標曲面是扁球面 :
x
2
+
y
2
a
2
cosh
2
μ
+
z
2
a
2
sinh
2
μ
=
cos
2
ν
+
sin
2
ν
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
。
它們是由橢圓繞着z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交,是一個的橢圓。沿着x-軸,長半軸長度為
a
cosh
μ
{\displaystyle a\cosh \mu }
,沿着z-軸,短半軸長度為
a
sinh
μ
{\displaystyle a\sinh \mu }
。橢圓的焦點都包含於x-軸,x-坐標分別為
±
a
{\displaystyle \pm a}
。
ν
{\displaystyle \nu }
坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 :
x
2
+
y
2
a
2
cos
2
ν
−
z
2
a
2
sin
2
ν
=
cosh
2
μ
−
sinh
2
μ
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
。
假若
ν
{\displaystyle \nu }
是正值,
z
{\displaystyle z}
也是正值,這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上;假若是負值,則在xy-平面以下。
ν
{\displaystyle \nu }
是雙曲線的漸近線 的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸,x-坐標分別為
±
a
{\displaystyle \pm a}
。
ϕ
{\displaystyle \phi }
坐標曲面是個半平面 :
x
sin
ϕ
−
y
cos
ϕ
=
0
{\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}
。
用直角坐標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
來計算扁球面坐標
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
,方位角
ϕ
{\displaystyle \phi }
的公式為
tan
ϕ
=
y
x
{\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}
。
設定
d
1
{\displaystyle d_{1}}
與
d
2
{\displaystyle d_{2}}
分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離,以方程式表示為
d
1
2
=
(
x
2
+
y
2
+
a
)
2
+
z
2
{\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}}
、
d
2
2
=
(
x
2
+
y
2
−
a
)
2
+
z
2
{\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}}
。
坐標
μ
{\displaystyle \mu }
和
ν
{\displaystyle \nu }
的方程式分別為
cosh
μ
=
d
1
+
d
2
2
a
{\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}}
、
cos
ν
=
d
1
−
d
2
2
a
{\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}}
。
扁球面坐標
μ
{\displaystyle \mu }
與
ν
{\displaystyle \nu }
的標度因子相等:
h
μ
=
h
ν
=
a
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
。
方位角
ϕ
{\displaystyle \phi }
的標度因子為
h
ϕ
=
a
cosh
μ
cos
ν
{\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }
。
無窮小體積元素是
d
V
=
a
3
cosh
μ
cos
ν
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
d
μ
d
ν
d
ϕ
{\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
1
cosh
μ
∂
∂
μ
(
cosh
μ
∂
Φ
∂
μ
)
+
1
cos
ν
∂
∂
ν
(
cos
ν
∂
Φ
∂
ν
)
]
+
1
a
2
(
cosh
2
μ
cos
2
ν
)
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
。
其它微分算子,像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
、
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內對應的一般公式。
另外有一組有時會用到的扁球面坐標
(
ζ
,
ξ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}
;其中,
ζ
=
sinh
μ
{\displaystyle \zeta =\sinh \mu }
,
ξ
=
sin
ν
{\displaystyle \xi =\sin \nu }
[ 1] 。
ζ
{\displaystyle \zeta }
坐標曲面是個扁球面,
ξ
{\displaystyle \xi }
坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標:
x
=
a
(
1
+
ζ
2
)
(
1
−
ξ
2
)
cos
ϕ
{\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi }
、
y
=
a
(
1
+
ζ
2
)
(
1
−
ξ
2
)
sin
ϕ
{\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi }
、
z
=
a
ζ
ξ
{\displaystyle z=a\zeta \xi }
。
其中,實數
0
≤
ζ
<
∞
{\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }
,實數
−
1
≤
ξ
<
1
{\displaystyle -1\leq \xi <1}
,角度
−
180
∘
≤
ϕ
≤
180
∘
{\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }}
。
扁球面坐標
(
ζ
,
ξ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )}
的標度因子分別為:
h
ζ
=
a
ζ
2
+
ξ
2
1
+
ζ
2
{\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}
、
h
ξ
=
a
ζ
2
+
ξ
2
1
−
ξ
2
{\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}
、
h
ϕ
=
a
(
1
+
ζ
2
)
(
1
−
ξ
2
)
{\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}
。
無窮小體積元素是
d
V
=
a
3
(
ζ
2
+
ξ
2
)
d
ζ
d
ξ
d
ϕ
{\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
V
=
1
a
2
(
ζ
2
+
ξ
2
)
{
∂
∂
ζ
[
(
1
+
ζ
2
)
∂
V
∂
ζ
]
+
∂
∂
ξ
[
(
1
−
ξ
2
)
∂
V
∂
ξ
]
}
+
1
a
2
(
1
+
ζ
2
)
(
1
−
ξ
2
)
∂
2
V
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}
。
圖3)第三種扁球面坐標系
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
的三個坐標曲面 。紅色扁球面是
σ
{\displaystyle \sigma }
坐標曲面。藍色單葉雙曲面是
τ
{\displaystyle \tau }
坐標曲面。黃色半平面是
ϕ
{\displaystyle \phi }
坐標曲面 (黃色半平面與xz-半平面之間的二面角 角度是
ϕ
{\displaystyle \phi }
)。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1 ,P2 (以黑色的圓球表示)觀察到。
另外,還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
[ 2] :
σ
=
cosh
μ
{\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
、
τ
=
cos
ν
{\displaystyle \tau =\cos \nu }
、
ϕ
=
ϕ
{\displaystyle \phi =\phi }
。
坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
必須大於或等於1。坐標
τ
{\displaystyle \tau }
必須在正負1之間。
σ
{\displaystyle \sigma }
坐標曲面是扁球面。
τ
{\displaystyle \tau }
坐標曲面是單葉雙曲面,包含了對應於正負
ν
{\displaystyle \nu }
的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併:三維空間的兩點(直角坐標
(
x
,
y
,
±
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)}
映射至一組扁球面坐標系
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
)。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到:
x
=
a
σ
τ
cos
ϕ
{\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi }
、
y
=
a
σ
τ
sin
ϕ
{\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi }
、
z
2
=
a
2
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
{\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}
。
坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離
d
1
{\displaystyle d_{1}}
,最近距離
d
2
{\displaystyle d_{2}}
:
d
1
+
d
2
=
2
a
σ
{\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma }
、
d
1
−
d
2
=
2
a
τ
{\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau }
。
所以,點P與焦圓的最遠距離是
a
(
σ
+
τ
)
{\displaystyle a(\sigma +\tau )}
,點P與焦圓的最近距離是
a
(
σ
−
τ
)
{\displaystyle a(\sigma -\tau )}
。
σ
{\displaystyle \sigma }
坐標曲面是扁球面 :
x
2
+
y
2
a
2
σ
2
+
z
2
a
2
(
σ
2
−
1
)
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}
。
τ
{\displaystyle \tau }
坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 :
x
2
+
y
2
a
2
τ
2
−
z
2
a
2
(
1
−
τ
2
)
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}
。
ϕ
{\displaystyle \phi }
坐標曲面是半個平面 :
x
sin
ϕ
−
y
cos
ϕ
=
0
{\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0}
。
扁球面坐標
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
的標度因子分別為:
h
σ
=
a
σ
2
+
τ
2
σ
2
+
1
{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}}
、
h
τ
=
a
σ
2
+
τ
2
1
−
τ
2
{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
、
h
ϕ
=
a
σ
τ
{\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }
。
無窮小體積元素是
d
V
=
a
3
σ
τ
σ
2
+
τ
2
(
σ
2
+
1
)
(
1
−
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
ϕ
{\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
σ
2
+
τ
2
)
{
∂
∂
σ
[
(
σ
2
+
1
)
∂
Φ
∂
σ
]
+
∂
∂
τ
[
(
1
−
τ
2
)
∂
Φ
∂
τ
]
}
+
1
a
2
(
σ
2
+
1
)
(
1
−
τ
2
)
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
。
其它微分算子,像
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
、
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內對應的一般公式。
如同球坐標 解答的形式為球諧函數 ,拉普拉斯方程 可以用分離變數法來求解,得到形式為扁球諧函數 的答案。假若,邊界條件涉及扁球面,我們可以優先選擇這方法來解析。
^ Smythe, 1968。
^ Abramowitz and Stegun, p. 752。
Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662. 採用
ξ
1
=
a
sinh
μ
{\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu }
、
ξ
2
=
sin
ν
{\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu }
、
ξ
3
=
cos
ϕ
{\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi }
。
Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9 . 如同Morse & Feshbach (1953),採用
u
k
{\displaystyle u_{k}}
來替代
ξ
k
{\displaystyle \xi _{k}}
。
Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98. 採用混合坐標
ξ
=
a
sinh
μ
{\displaystyle \xi =a\sinh \mu }
、
η
=
sin
ν
{\displaystyle \eta =\sin \nu }
、
ϕ
=
ϕ
{\displaystyle \phi =\phi }
。
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 採用第一種表述
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )}
,又加介紹了簡併的第三種表述
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )}
。
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182. 如同Korn and Korn (1961),但採用餘緯度
θ
=
90
∘
−
ν
{\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }
來替代緯度
ν
{\displaystyle \nu }
。
Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7 . Moon and Spencer採用餘緯度常規
θ
=
90
∘
−
ν
{\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu }
,又改名
ϕ
{\displaystyle \phi }
為
ψ
{\displaystyle \psi }
。
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347 . 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。