滲流理論

滲流理論（英語：Percolation theory）是數學和統計物理領域中研究隨機圖上簇的性質的一套理論。舉例來說，假設有一多孔材料，求問液體能否從頂端貫穿該材料直至到達底部。滲流理論將此抽象成以下數學問題：建立一有n × n × n個頂點的三維網格模型，相鄰頂點的邊有p的概率是連接的，或者說有(1-p)的概率是不連接的，每條邊連接與否相互獨立。滲流理論的基本問題是，當n很大以至於體系可以近似為無限網格時，求問至少存在一條貫穿整個網格的路徑（稱為滲流）對應的p的範圍。這一p的下界，p_c，稱為滲流閾值。該問題由布羅德本特和漢默斯利於1957年提出，其後相關問題被廣泛研究。

上述問題稱為邊滲流或鍵滲流（英語：Bond percolation），是滲流理論兩種主要的滲流形式之一。另外一種是點滲流（英語：Site percolation），與邊滲流不同的是，每個頂點有p的概率是「佔有」的；相應有(1-p)的概率是「空缺」的，如果相鄰兩個頂點皆屬於佔有則它們之間是連接的。而問題相同：求給定p值時，整個圖是否滲流。

滲流閾值

主條目：滲流閾值

根據零一律，一個無限的隨機圖是否滲流的概率要麼為0，要麼為1，處於這一轉折的臨界概率稱為滲流閾值，記作p_c。少數簡單模型的滲流閾值有精確的解析解。例如，一維點陣的邊滲流和點滲流閾值均為p_c=1，這個解是平凡的；二維方格的滲流閾值曾困擾物理學界20年，直到1980年代由哈里·凱斯滕給出完整證明，其邊滲流閾值是1/2（參見Kesten (1982)）。另一種已知精確解的特殊情況是貝特晶格（該模型的每一個頂點有z個近鄰頂點，如此延伸，沒有迴路），$p_{c}={\frac {1}{z-1}}$。

以下給出d維簡單立方模型的滲流閾值數據：

d	配位數z	點滲流	邊滲流
2	4	0.59274601(2)	1/2
3	6	0.3116077(4)	0.2488126(5)
4	8	0.1968861(14),0.19688561(3)	0.1601314(13), 0.16013122(6)
5	10	0.1407966(15), 0.14079633(4)	0.118172(1), 0.11817145(3)
6	12	0.109017(2), 0.109016661(8)	0.0942019(6), 0.09420165(2)
7	14	0.0889511(9), 0.088951121(1),	0.0786752(3), 0.078675230(2)
8	16	0.0752101(5), 0.075210128(1)	0.06770839(7), 0.0677084181(3)
9	18	0.0652095(3), 0.0652095348(6)	0.05949601(5), 0.0594960034(1)
10	20	0.0575930(1), 0.0575929488(4)	0.05309258(4), 0.0530925842(2)
11	22	0.05158971(8), 0.0515896843(2)	0.04794969(1), 0.04794968373(8)
12	24	0.04673099(6), 0.0467309755(1)	0.04372386(1), 0.04372385825(10)
13	26	0.04271508(8), 0.04271507960(10)	0.04018762(1), 0.04018761703(6)

實際計算中，當網格邊長n較大時，比如n=100，一個體系是否滲流的概率在p_c附近的變化已經非常尖銳。

滲流臨界指數

主條目：滲流臨界指數

模型在滲流閾值附近的行為可視作一種相變，因為有些表徵性質的物理量是發散的，比如簇的期望大小。標度理論認為模型在滲流閾值的性質可以用一系列臨界指數描述。例如，相互連接的點（點滲流）或邊（邊滲流）構成一個簇。當$p=p_{c}$時，簇大小的分佈趨於$n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )$，其中$s$為簇的大小，$n_{s}$為該大小的簇出現的概率，$\tau$為費舍爾指數（Fischer exponent）。

又如，兩個距離為${\vec {r}}\,\!$的點屬於同一個簇的概率呈$g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!$指數衰減，其中$\eta$為反常維度（Anomalous dimension）。

在滲流閾值時，無限的簇可視作一分形。以該無限的簇上的一點為中心，長度為$L$半徑範圍內屬於該簇點的個數（簇的質量）滿足$M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}$，$d_{\mathrm {f} }$稱為分形維度（Fractal dimension）。以上三個指數滿足

$\tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!$

$\eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!$

滲流臨界指數及關係也是滲流理論研究的重要內容。

相關

• 普遍性 (物理學)
• ER隨機圖