伊藤積分

伊藤微分（英語：Itō calculus）得名自日本數學家伊藤清，是將微積分的概念擴展到隨機過程中，像布朗運動（維納過程）就可以用伊藤微積分進行分析。主要應用在金融數學及隨機微分方程式中。伊藤微積分的中心概念是伊藤積分，是將傳統的黎曼－斯蒂爾傑斯積分延伸到隨機過程中，隨機過程一方面是一個隨機變數，而且也是一個不可微分的函數。

藉由伊藤積分，可以將一個隨機過程（被積分函數）對另一個隨機過程（積分變數）進行積分。積分變數一般會布朗運動。從 $0$ 到 $t$ 的積分結果是一個隨機變數。此隨機變數定義為一特定隨機變數序列的極限（有許多等效的方式可建構上述的定義）。

伊藤積分是對半鞅X以及隨機過程H的積分

\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).

這裡X是布朗運動，或者更廣義地，是一個半鞅，H是一個適配於由X生成的篩選的，本地平方可積分的過程(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。布朗運動的路徑無法滿足應用於微積分標準技術的需求。特別地，其在任意點不可微，並且在每一個時間間隔都有無限變差。其結果是，無法用普通的方法定義積分（參考黎曼－斯蒂爾傑斯積分）。主要的創新是只要調配被積函數，就可以定義一個積分，不嚴格的講，即t時刻它的值僅僅依靠此時刻之前的可用資訊。

伊藤過程的重要結果包括分部積分公式和伊藤引理，即變量公式的變形。這些由於二次變異數項，都與標準微積分公式不同，

股票價格和其他可交易資產的價格可以通過隨機過程進行建模，例如布朗運動，或者，更經常的，幾何布朗運動（參見布萊克-舒爾斯模型）。然後，伊藤隨機積分代表，在時間t持有一定數量Ht的股票，對其進行連續交易的回報。這種情況下，調配H就相應於，在任何時候只使用可用資訊的交易策略限制。這也阻止了通過高頻交易獲得無限收益的可能性：市場中每個上漲之前買入股票，每個下跌之前賣出股票。相似地，調配H的條件暗示，當作為黎曼和極限進行計算的時候，隨機積分不會收斂(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。

伊藤引理

$df(X_{t})=f'(X_{t})dX_{t}+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}dt$

伊藤等距同構

$E((\int H_{s}dB_{s})^{2})=E(\int H_{s}^{2}ds)$

物理學家的伊藤積分

隨機微分方程式

朗之萬方程式

${\dot {x}}=f(x(t))+\xi (t)$

$\langle \xi (s)\xi (t)\rangle =\delta (s-t)$

泛函積分

$Z=\int D\xi P(\xi )$

$P(\xi )=\exp(-\int \xi ^{2}/2)$

有關條目

參考資料

Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, 1999, ISBN 3-540-57622-3
Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
Oksendal. Stochastic Differential Equations.
Scott M. Applied Stochastic Processes.
Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition 1996

閱論編機率論：隨機過程
離散時間（英語：Discrete-time stochastic process）	伯努利過程分支過程中餐館過程高爾頓-沃特森過程（英語：Galton–Watson process）獨立同分布馬可夫鏈莫蘭過程（英語：Moran process）隨機漫步循環擦除隨機漫步（英語：Loop-erased）自避行走
連續時間	貝塞爾過程出生-死亡過程維納過程/布朗運動布朗橋 Excursion（英語：Brownian excursion）分數布朗運動（英語：Fractional Brownian motion）幾何布朗運動 Meander（英語：Brownian meander）柯西過程（英語：Cauchy process） Contact process（英語：Contact process (mathematics)） Cox process（英語：科克斯过程） Diffusion process（英語：Diffusion process） Empirical process（英語：Empirical process）費勒過程（英語：Feller process）弗萊明-維奧過程（英語：Fleming–Viot process）伽馬過程（英語：Gamma process）亨特過程（英語：Hunt process） Interacting particle system（英語：Interacting particle system）s 伊藤積分伊藤過程跳躍擴散（英語：Jump diffusion）跳躍過程萊維過程 Local time（英語：Local time (mathematics)）馬可夫加過程（英語：Markov additive process）麥基恩-弗拉索夫過程（英語：McKean–Vlasov process）奧恩斯坦-烏倫貝克過程卜瓦松過程複合卜瓦松過程（英語：Compound Poisson process）非齊次卜瓦松過程卜瓦松點過程施拉姆-勒夫納演進半鞅 Sigma-martingale（英語：Sigma-martingale） Stable process（英語：Stable process） Superprocess（英語：Superprocess） Telegraph process（英語：Telegraph process） Variance gamma process（英語：Variance gamma process）維納過程 Wiener sausage（英語：Wiener sausage）
離散時間與連續時間	分支過程高斯過程隱藏式馬可夫模型（HMM）馬可夫過程鞅鞅差序列（英語：Martingale difference sequence）局部鞅（英語：Local martingale） Sub- Super-（英語：Super-） Random dynamical system（英語：Random dynamical system） Regenerative process（英語：Regenerative process） Renewal process（英語：Renewal process）白雜訊
場及其它	狄利克雷過程（英語：Dirichlet process）高斯隨機場（英語：Gaussian random field）吉布斯測度（英語：Gibbs measure）霍普菲爾德神經網絡易辛模型馬可夫網絡滲流理論皮特曼-約爾過程（英語：Pitman–Yor process）點過程 Cox（英語：Point process#Cox point process）卜瓦松過程玻茨模型隨機場隨機圖
時間序列模型	ARCH模型 ARIMA模型自我迴歸模型 ARMA模型廣義ARCH模型移動平均模型
金融模型	布萊克-德爾曼-托伊模型（英語：Black–Derman–Toy model）布萊克-卡拉辛斯基模型（英語：Black–Karasinski model）布萊克-舒爾斯模型陳模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英語：Constant elasticity of variance model）科克斯-英格索爾-羅斯模型 (CIR)（英語：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英語：Garman–Kohlhagen model） HJM框架赫斯頓模型（英語：Heston model） Ho–Lee（英語：Ho–Lee model）赫爾-懷特模型 LIBOR市場模型（英語：LIBOR market model） SABR volatility（英語：SABR volatility model）瓦西塞克模型（英語：Vasicek model）
精算學	Bühlmann（英語：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英語：Cramér–Lundberg model） Risk process（英語：Risk process） Sparre–Anderson（英語：Sparre–Anderson model）
等候理論	Bulk（英語：Bulk queue） Fluid（英語：Fluid queue） Generalized queueing network（英語：G-network） M/G/1（英語：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英語：M/M/c queue）
性質	右連左極函數 Continuous（英語：Continuous stochastic process） Continuous paths（英語：Sample-continuous process）遍歷性 Exchangeable（英語：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英語：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英語：Gauss–Markov process）馬可夫性質 Mixing（英語：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英語：Piecewise deterministic Markov process）可預測過程循序可測過程 Self-similar（英語：Self-similar process）平穩過程 Time-reversible（英語：Time reversibility）
極限定理	中央極限定理 Donsker's theorem（英語：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英語：Doob's martingale convergence theorems）遍歷理論 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英語：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英語：Large deviation principle）大數法則重對數律 Maximal ergodic theorem（英語：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英語：Sanov's theorem）
不等式	Burkholder–Davis–Gundy（英語：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英語：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英語：Kunita–Watanabe inequality）
工具	Cameron–Martin formula（英語：Cameron–Martin formula）隨機變數的收斂 Doléans-Dade exponential（英語：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英語：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英語：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英語：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英語：Dynkin's formula）費曼-卡茨公式右連左極函數 Girsanov theorem（英語：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英語：Infinitesimal generator (stochastic processes)）伊藤積分伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英語：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英語：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英語：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英語：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英語：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英語：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英語：Prohorov theorem）二次變差 Reflection principle（英語：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英語：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英語：Skorokhod's representation theorem）右連左極函數 Snell envelope（英語：Snell envelope）隨機微分方程式 Tanaka（英語：Tanaka equation）停時隨機積分 Uniform integrability（英語：Uniform integrability） Usual hypotheses（英語：Usual hypotheses）維納空間 Classical（英語：Classical Wiener space） Abstract 漂移項
相關領域	精算學計量經濟學遍歷理論極值理論（EVT） Large deviations theory（英語：Large deviations theory）數理金融學數理統計學機率論等候理論 Renewal theory（英語：Renewal theory） Ruin theory（英語：Ruin theory）統計學隨機分析時間序列分析機器學習
分類