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斯里尼瓦瑟·拉馬努金

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拉馬努金
Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg
出生 (1887-12-22)1887年12月22日
印度泰米爾納德邦埃羅德
逝世 1920年4月26日(1920-04-26)(32歲)
印度貢伯戈訥姆
居住地 British Raj Red Ensign.svg 英屬印度
 英國
研究領域 數學
母校 劍橋大學三一學院
學術顧問 哈代李特爾伍德
知名於 蘭道-拉馬努金常數
拉馬努金θ函數英語Ramanujan theta function
拉馬努金猜想英語Ramanujan–Petersson conjecture
拉馬努金質數英語Ramanujan prime
拉馬努金-索德納常數
拉馬努金和
拉馬努金求和
羅傑斯-拉馬努金恆等式英語Rogers–Ramanujan identities
拉馬努金主定理英語Ramanujan's master theorem
受影響於 戈弗雷·哈羅德·哈代
簽名

斯里尼瓦瑟·拉馬努金泰米爾語ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்ISO 15919轉寫:Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār,又譯拉馬努詹,1887年12月22日-1920年4月26日),泰米爾人,亞洲史上最著名數學家。沒受過正規的高等數學教育,沉迷數論,尤愛牽涉π質數數學常數的求和公式,以及整數分拆。慣以直覺(或跳步或稱之為數感)導出公式,不喜作證明,而在他的理論在事後往往被證明是對的。他所留下的尚未被証明之公式,引發了後來的大量研究。1997年,《拉馬努金期刊》(Ramanujan Journal)創刊,用以發表有關「受到拉馬努金影響的數學領域」的研究論文。

他自學成才並負笈劍橋的傳奇故事曾數次被拍成電影,包括了2015年的《天才無限家》。

生平[編輯]

童年和早年生活[編輯]

拉馬努金生於印度東南部泰米爾納德邦埃羅德。在1898年十歲的時候,進入貢伯戈訥姆一所中學,在那裡他似乎第一次接觸到正規的數學。在11歲時,他已經掌握了住在他家的房客的數學知識,他們是政府大學的學生,到13歲,他就掌握了借來的高等三角學的書裡的知識。他的傳記作家稱他的天才在14歲時開始顯露。他不僅在他的學生歲月裡不斷獲得榮譽證書和獎學金,他還幫學校處理把1200個學生(各有不同需要)分配給35個教師的後勤事務,他甚至在一半的給定時間內完成測驗,還已經顯示出對無窮級數的熟練掌握;他那時的同校的人後來回憶說:「我們,包括老師,很少可以理解他,並對他『敬而遠之』」。但是,拉馬努金在其他科目無法集中注意力,並在高中考試中不合格。在他生活的這個時段,他也相當窮困,經常到了挨餓的地步。

在印度的成年階段[編輯]

因為結了婚,他必須找到工作。帶著他的數學計算能力,他在清奈(舊稱馬德拉斯)到處找抄寫員的工作。最後他找到了一個工作,並在一個英國人的建議下和劍橋的研究人員聯繫。

作為清奈總會計師事務所的職員,拉馬努金奢望可以完全投入到數學中而不用作其他工作。他懇請有影響的印度人給予支持,並在印度數學期刊上發表了一些論文,但並未成功找到經濟支持。到這個時候,慕克吉(Ashutosh Mukherjee)爵士試圖支持他的事業。

在1913年拉馬努金發了一長串複雜的定理給三個劍橋的學術界人士貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy),只有三一學院的院士哈代注意到了拉馬努金定理中所展示的天才。

讀著不知名和未經訓練的印度數學家的突然來信,哈代和他的同事利特爾伍德(J. E. Littlewood)評論道:「沒有一個定理可以放到世界上最高等的數學測試中。」雖然哈代是當時著名的數學家而且是拉馬努金所寫的其中幾個領域中的專家,他還是說很多定理:「完全打敗了我」、「我從沒見過任何像這樣的東西。」

作為他的成果的一個例子,拉馬努金給出了漂亮的連分數

其中黃金分割

在英國的生活[編輯]

在起初的一些懷疑過後,哈代回信給了一些評論,要求其中一些發現的證明,並開始計劃將拉馬努金帶到英國。作為正統的婆羅門,拉馬努金諮詢了他的旅行的星象,因為處於宗教的考慮到外國去他可能失去他的種姓。拉馬努金的母親做了個夢,其中家族女神告訴她不要阻攔她兒子的行程,所以他制定了行程,雖然他痛苦的盡力保持婆羅門的生活方式。

富有成果的合作開始了,哈代將之描述為:「我一生中最浪漫的事件」。哈代評論拉馬努金的公式,有些他起先不能理解,他說:「只要看它們一眼就知道只有第一流的數學家才能寫下它們。它們肯定是真的,因為如果不是的話,沒人能有足夠的想像力來發明他們。」哈代在艾狄胥對他的一次採訪中說他自己對數學最偉大的貢獻是發現了拉馬努金,並把拉馬努金的天才比作至少和數學巨人歐拉雅可比(Carl Jacobi)的相當。拉馬努金後來成為三一學院的院士,並得到了科學界最高級別的榮譽,英國皇家學會會員(FRS)。

疾病和返回印度[編輯]

健康問題困擾了他的一生。由於過度投入研究工作,拉馬努金的健康在英國急劇惡化。壓力的加劇以及第一次世界大戰蔬菜的稀缺可能使問題變得更加嚴重。他被診斷為肺結核(Henderson, 1996年)以及嚴重維生素不足,但1994年由楊格(Dr. D.A.B Young)進行的對拉馬努金的醫療紀錄和症狀的分析結論為更可能他有肝變形蟲病,一種感染肝臟的寄生蟲。拉馬努金在清奈待了很長時間這一事實進一步證實這一點,那是這種疾病廣泛傳播的沿海城市。那在當時是很難診斷的疑症,但一旦診斷當時已可治癒(Berndt, 1998年)。他於1919年返回印度,之後不久便在貢伯戈訥姆去世,他對這個世界最後的禮物是拉馬努金θ函數的發現。他的妻子賈納姬(S. Janaki Ammal)搬到孟買,1950年回到清奈生活,直至1994年逝世。結婚時賈納姬才九歲,在當時的印度這是相當常見的(Henderson, 1996年)。

精神生活[編輯]

拉馬努金終生過著婆羅門的生活。關於他實際信仰的觀點有很多區別:他的第一個印度傳記作者把他描述為一個嚴格正統的婆羅門,而哈代(堅定的無神論者)相信他在涉及到形上學的方面基本上是一個不可知論者。

哈代報導了拉馬努金的一個斷言說所有宗教一樣正確。卡尼蓋爾(Robert Kanigel)的傳記則稱拉馬努金可能不會給哈代看到他宗教的一面;另一方面來講,卡尼蓋爾通常描寫哈代的負面形象。

拉馬努金將他的理解歸功於他的家族女神納瑪姬莉(Namagiri:被視為Lakshmi的化身),並在他的工作中向她尋求靈感。他經常說:「一個方程對我沒有意義,除非它代表了神的一個想法。」

數學成就[編輯]

在數學上,有洞察力和有一個證明是很不相同的。拉馬努金天才的給出了大量的公式,可以再深入研究,開啟了新的研究方向。這些公式的例子有圓周率的一些引人入勝的無窮級數,其中一個是:

這和如下事實相關:

他提出對所有θ

此處Γ(z)代表伽瑪函數

比較恆等式兩邊θ之不同冪的係數,就可以得出雙曲正割的許多恆等式。

哈代這樣評論拉馬努金:

定理和發現[編輯]

這些包括拉馬努金自己的發現,和那些在和哈代的合作中發展和證明的定理

他也在下列領域做出重大突破和發現:

他的發現異常豐富;也就是說,很多發現比它們初看起來要豐富得多。

拉馬努金猜想和它的作用[編輯]

雖然很多命題都可以稱為拉馬努金猜想,有一個特別適合這個稱號,它在後續工作中非常有影響。拉馬努金猜想是一個斷言,這是關於τ-函數的係數大小的,而那是一個模形式理論中的典型尖形式(cusp form)。這在幾十年後被證明為魏爾猜想的證明的一個結果;歸約步驟是很複雜的。

拉馬努金的筆記[編輯]

當他還在印度時,拉馬努金在三本活頁紙筆記上記錄了很多結果。結果被寫下來,但沒有推導。這可能是對拉馬努金不能證明自己的結果而只是直接想到最後結果的誤解的起源。Berndt在他對這些筆記和拉馬努金的工作的評論中,感到拉馬努金幾乎肯定能夠對他絕大部分的結果作出證明,只是選擇了不做證明。

這種工作風格可能有幾個原因。因為紙在那時很貴,拉馬努金在寫字石板上進行了他大部分的工作可能還有他的證明,然後只將結果轉移到紙上。在當時的印度,使用寫字板對於數學的學生來講很常見。他也可能受一本書的影響——他大部分的高等數學知識的來源卡爾(G. S. Carr))《純數學和應用數學概要》(Synopsis of Pure and Applied Mathematics),這是卡爾用來教授數學的。它總結了幾千個結果,不帶證明的給出了它們。最後,可能拉馬努金認為他的工作只是給他自己的個人興趣用的;所以只記錄了結果。(Berndt, 1998)

第一本筆記有351頁,大約16個有某種組織的章和一些無組織的材料。第二本筆記有256頁,散布在21章和100個無組織頁面中。第三本有33個未組織的頁面。他筆記本中的結果激發了大量論文,由後世企圖證明他的發現的數學家所寫。哈代自己也寫了挖掘拉馬努金工作中的材料的論文,就像沃森(G. N. Watson)、威爾遜(B. M. Wilson)和伯恩特(Bruce Berndt)所作的一樣。(Berndt, 1998)

評價[編輯]

拉馬努金是印度在過去一千年中所出的非常偉大的數學家。他的直覺的跳躍甚至令今天的數學家感到迷惑,在他死後70多年。他的論文中埋藏的秘密依然在被挖掘出來。他的定理被應用到他活著的時候很難想像到的領域。(引自卡尼蓋爾所著傳記《知無涯者:拉馬努金傳》第3頁)

美國作家羅伯特·卡尼蓋爾所著傳記《知無涯者:拉馬努金傳》後被中國數學家,武漢大學前校長齊民友先生等翻譯成中文。

軼事[編輯]

拉馬努金病重,哈代前往探望。哈代說:「我乘計程車來,車牌號碼是1729,這數真沒趣,希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道:「不,那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中,1729是最小的。」(即1729 = 13+123 = 93+103,後來這類數稱為的士數。)利特爾伍德回應這宗軼聞說:「每個整數都是拉馬努金的朋友。」

參看[編輯]

延伸閱讀[編輯]

  • Collected Papers of Srinivasa Ramanujan ISBN 0-8218-2076-1
  • The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan by Robert Kanigel ISBN 0-671-75061-5(中譯本:《知無涯者:拉馬努金傳》;羅伯特‧卡尼蓋爾著;胡樂士、齊民友譯;上海科技教育出版社;2002)

參考資料[編輯]

  • An overview of Ramanujan's notebooks by Bruce C. Berndt, in Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe, Volume 2: Mathematical Arts, P. L. Butzer, H. Th. Jongen, and W. Oberschelp, editors, Brepols, Turnhout, 1998, pp. 119-146,(22 pg. pdf file
  • Modern Mathematicians, Harry Henderson, Facts on File Inc., 1996

外部連結[編輯]

  • The Ramanujan Journal
  • 探求「無限」奧秘的數學家 一Srinivasa Ramanujan,顏一清,數學傳播季刊第27卷 第3,4期[1][2]