支撑集：修订间差异

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2022年8月6日 (六) 09:05的版本

在数学中，一个定义在集合 $X$ 上的实值函数 $f$ 的支撑集，或简称支集，是指 $X$ 的一个子集，满足 $f$ 恰好在这个子集上非 ${0}$ 。最常见的情形是， $X$ 是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数 $f$ 在此拓扑下连续。此时， $f$ 的支撑集被定义为这样一个闭集 $C$ ： $f$ 在 $X\backslash C$ 中为 ${0}$ ，且不存在 $C$ 的真闭子集也满足这个条件，即， $C$ 是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。

特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

闭支撑

常见的情况出现为： $X$ 是一个拓扑空间（例如实轴或n维欧几里得空间），并且 $f:X\to \mathbb {R}$ 是连续的实值函数（或复值函数）。此时， $f$ 的支撑在拓扑上定义为使得 $f$ 非零的 $X$ 子集的闭包^[1]^[2]^[3] ，即：

\operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{c}\right)}}.

由于闭集的交集也是闭集，所以 $\operatorname {supp} (f)$ 是集合论中所有包含 $f$ 支撑的闭集的交集。

例如， $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 定义如下：

f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}

$f$ 的支撑是闭区间 $[-1,1]$ ，因为 $f$ 在开区间 $(-1,1)$ 非零，其闭包为 $[-1,1]$ 。

闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 $f:X\to \mathbb {R}$ （或 $f:X\to \mathbb {C}$ 不需要）连续。^[4]

紧支撑

如果某函数的支撑集是 $X$ 中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 $X$ 的。例如，若 $X$ 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为 $0$ 的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 $\epsilon >0$ ，一个定义在实数轴 $X$ 上的函数 $f$ 在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 $C$ 来描述：

|f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon

其中 $1_{C}(x)$ 表示 $C$ 的指示函数。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的 $\delta (x)$ 。此时，我们考虑一个测试函数 $F$ ，并且 $F$ 是光滑的，其支撑集不包括 $0$ 。由于 $\delta (F)$ （即 $\delta$ 作用于 $F$ ）为 $0$ ，所以我们说 $\delta$ 的支撑集为 $\{0\}$ 。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。

奇支集

在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是 $1/x$ ，但这在 $x=0$ 时是不成立的。所以很明显地， $x=0$ 是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是 $\{0\}$ ，即对于一个支撑集包括 $0$ 的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

支撑族

支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。 $X$ 的一组闭子集 $\Phi$ 是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是 $\Phi$ 的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何 $Y\in \Phi$ ，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些 $Z\in Pi$ 是一个邻域。如果 $X$ 是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。

参考文献

^ Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132.
^ Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14.
^ Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8.
^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.

[folland-1] Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132.

[hormander-2] Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14.

[Pasc-3] Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8.

[4] Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.

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 特别地，在[[概率论]]中，一个[[概率分布]]是[[随机变量]]的所有可能值组成的集合的闭包。
+==闭支撑==
+常见的情况出现为：<math>X</math>是一个[[拓扑空间]]（例如实轴或n维[[欧几里得空间]]），并且<math>f : X \to \R</math>是[[连续函数|连续的]]实值函数（或复值函数）。此时，'''<math>f</math>'''的支撑在拓扑上定义为使得<math>f</math>非零的<math>X</math>子集的闭包<ref name="folland">{{cite book|last=Folland|first=Gerald B.|year=1999|title=Real Analysis, 2nd ed.|page=132|location=New York|publisher=John Wiley}}</ref><ref name="hormander">{{cite book|last=Hörmander|first=Lars|year=1990|title=Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.|page=14|location=Berlin|publisher=Springer-Verlag}}</ref><ref name="Pasc">{{cite book|last=Pascucci|first=Andrea|year=2011|title=PDE and Martingale Methods in Option Pricing|page=678|isbn=978-88-470-1780-1|doi=10.1007/978-88-470-1781-8|location=Berlin|publisher=Springer-Verlag|series=Bocconi & Springer Series}}</ref> ，即：
+<math display="block">\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}_X\left(\{x \in X \,:\, f(x) \neq 0 \}\right) = \overline{f^{-1}\left(\{ 0 \}^{c}\right)}.</math>
+由于闭集的交集也是闭集，所以<math>\operatorname{supp}(f)</math>是集合论中所有包含<math>f</math>支撑的闭集的交集。
+例如，<math>f : \R \to \R</math>定义如下：
+<math display="block">f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{if } |x| < 1 \\ 0 & \text{if } |x| \geq 1 \end{cases}</math>
+<math>f</math>的支撑是闭区间<math>[-1, 1]</math>，因为<math>f</math>在开区间<math>(-1, 1)</math>非零，其闭包为<math>[-1, 1]</math>。
+闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 <math>f : X \to \R</math>（或 <math>f : X \to \Complex</math>不需要）连续。<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1987|title=Real and Complex Analysis, 3rd ed.|page=38|location=New York|publisher=McGraw-Hill}}</ref>
 == 紧支撑 ==
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 当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到[[分佈 (數學分析)|分布]]，比如[[狄拉克δ函数|狄拉克函数]]：定义在直线上的 <math>\delta(x)</math>。此时，我们考虑一个测试函数 <math>F</math>，并且 <math>F</math> 是光滑的，其支撑集不包括 <math>0</math>。由于 <math>\delta(F)</math> （即 <math>\delta</math> 作用于 <math>F</math>）为 <math>0</math>，所以我们说 <math>\delta</math> 的支撑集为 <math>\{0\}</math>。注意实数轴上的[[测度]]（包括[[概率测度]]）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。
 == 奇支集 ==
 在[[傅立叶分析]]的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。
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 Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。<math>X</math>的一组闭子集<math>\Phi</math>是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的[[有限并]]也是闭的。它的''扩张''是<math>\Phi</math>的并。一个''仿紧化''(''paracompactifying'')的支撑族对于任何<math>Y \in \Phi</math>，在[[子空间拓扑]]意义下是一个[[仿紧空间]]，并且存在一些<math>Z \in Pi</math>是一个[[邻域]]。如果<math>X</math>是一个[[局部紧空间]]，并且是[[豪斯多夫空间]]，所有的[[紧子集]]组成的族满足上的条件，那么就是''仿紧化''的。
+== 参考文献 ==
+{{Reflist|30em}}
 [[Category:实分析|T]]