雙球坐標系

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圖 1 )雙球坐標系的幾個坐標曲面。紅色環面的 \sigma=45^{\circ} 。藍色圓球面的 \tau=0.5 。黃色半平面的 \phi=60^{\circ} 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),直角坐標大約為 (0.841,\ -1.456,\ 1.239)
圖 2 )雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色環面( \sigma-坐標曲面),而藍色圓圈則變成藍色圓球面( \tau-坐標曲面)。

雙球坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 F_{1}F_{2} 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏,坐標 \sigma 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後,圓圈變成一個環面,而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈,稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑

基本定義[编辑]

在三維空間裏,一個點 P 的雙球坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 最常見的定義是

x = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi
z = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}

其中,(x,\ y,\ z)直角坐標\sigma 坐標是 \angle F_{1} P F_{2}弧度\tau 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d_{1}d_{2} 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

坐標曲面[编辑]

每一個紅色的 \sigma-坐標曲面都是包含了兩個焦點 F_1F_2 環面。,每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為

z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \cot \sigma \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sin^{2} \sigma}

當絕對值 \left| \sigma \right| 增加時,環小半徑會減小,環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時,\left| \sigma \right| 達到最大值 \pi/2

每一個藍色的 \tau-坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點;圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為

x^{2} + y^{2}+( z - a \coth \tau)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}

它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 \tau 的圓球面在 z>0 半空間;而負值 \tau 的圓球面在 z<0 半空間。\tau=0 曲線則與 xy-平面同平面。當 \tau 值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。

逆變換[编辑]

圖 3 )點 P 的坐標 \sigma\tau 的幾何意義。在一個方位角 \phi 為常數的平面裏,雙球坐標系變成雙極坐標系。\sigma 是角 \angle F_1PF_2 的弧度。\tau 是點 P 離兩個焦點的距離 d_{1}d_{2} 的比例的自然對數\sigma\tau 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(表示在洋紅色的方盒裏)。

雙球坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 來表示。方位角 \phi 的公式為

\tan \phi = \frac{y}{x}

點 P 與兩個焦點之間的距離是

d_{1}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z + a)^{2}
d_{2}^{2} = x^{2} + y^{2} + (z - a)^{2}

\taud_{1}d_{2} 的比例的自然對數

\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

如圖 3 ,\angle F_1PF_2 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 \sigma 。用餘弦定理來計算:

\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}

標度因子[编辑]

雙球坐標 \sigma\tau 的標度因子相等:

h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}

方位角的標度因子為

h_{\phi} = \frac{a \sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}

無窮小體積元素是

dV = \frac{a^{3}\sin \sigma}{( \cosh \tau - \cos\sigma)^{3}} d\sigma d\tau d\phi

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma} 
\left[ 
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) + 
\sin \sigma \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sin \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\sigma,\ \tau,\ z) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

雙球坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個不同半徑的圓球導體,請問其周圍的電位電場為什麼?應用雙球坐標,我們可以精緻地分析這个问題。

參閱[编辑]

參考目錄[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9. 
  • Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.