雙球坐標系
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。藍色圓球面的 
。黃色半平面的 
。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），
。
-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色圓球面（ 
-坐標曲面）。雙球坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 
與 
包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。
目录 |
[编辑] 基本定義
在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 
最常見的定義是
，
，
；
其中，
是直角坐標， 坐標是 
的弧度， 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 
與 
的比例的自然對數：
。
[编辑] 坐標曲面
每一個紅色的 -坐標曲面都是包含了兩個焦點 
與 
環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
。
當絕對值 
增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時， 達到最大值 
。
每一個藍色的 -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
。
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 的圓球面在 
半空間；而負值 的圓球面在 
半空間。
曲線則與 xy-平面同平面。當 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。
[编辑] 逆變換
與 的幾何意義。在一個方位角 
為常數的平面裏，雙球坐標系變成雙極坐標系。 是角 
的弧度。 是點 P 離兩個焦點的距離 與 的比例的自然對數。 與 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（表示在洋紅色的方盒裏）。雙球坐標 可以用直角坐標 來表達。方位角 的公式為
。
點 P 與兩個焦點之間的距離是
，
。
是 與 的比例的自然對數：
- 。
如圖 3 ， 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算：
；
[编辑] 標度因子
雙球坐標 與 的標度因子相等：
。
方位角的標度因子為
。
無窮小體積元素是
。
![\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma}
\left[
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) +
\sin \sigma \frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) +
\frac{1}{\sin \sigma \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]\,\!](http://upload.wikimedia.org/math/f/8/b/f8b02a7c4965b68290769f04ab5a5c1e.png)
。
其它微分算子，像 
， 
，都可以用 
坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
[编辑] 應用
雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。
[编辑] 參閱
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|---|---|
| 正交坐標系 | 正交坐標系 |
| 二維坐標系 | 直角坐標系 · 極坐標系 · 拋物線坐標系 · 雙極坐標系 · 雙角坐標系 · 雙心坐標系 · 雙曲坐標系 · 橢圓坐標系 |
| 三維坐標系 | 直角坐標系 · 圓柱坐標系 · 球坐標系 · 三維拋物線坐標 · 拋物柱面坐標系 · 拋物面坐標系 · 扁球面坐標系 · 長球面坐標系 · 橢球坐標系 · 橢圓柱坐標系 · 圓環坐標系 · 雙球坐標系 · 雙極圓柱坐標系 · 圓錐坐標系 · Flat-Ring cyclide coordinates · Flat-Disk cyclide coordinates · Bi-cyclide coordinates · Cap-cyclide coordinates |
| 座標系統 | |
[编辑] 外部鏈結
[编辑] 參考目錄
- Morse PM, Feshbach H（1953）．Methods of Theoretical Physics, Part I．New York：McGraw-Hill，p. 665–666．
- Korn GA, Korn TM（1961）．Mathematical Handbook for Scientists and Engineers．New York：McGraw-Hill，p. 182．
- Zwillinger D（1992）．Handbook of Integration．Boston, MA：Jones and Bartlett，p. 113．ISBN 0-86720-293-9．
- Moon PH, Spencer DE（1988）．“Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)”，Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions，2nd ed., 3rd revised printing，New York：Springer Verlag，pp. 110–112 (Section IV, E4Ry)．ISBN 0-387-02732-7．
