拋物柱面坐標系

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拋物柱面坐標系的幾個坐標曲面。紅色拋物柱面的 \sigma=2 。黃色拋物柱面的 \tau=1 。藍色薄面的 z=2 。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個曲面相交於點 P (顯示為黑色的圓球),直角坐標大約為 (2,\  - 1.5,\ 2)
拋物線坐標系的 \sigma\tau 的等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。拋物線坐標系可以往 z-軸延伸。對於任意 z-坐標,這曲線圖都正確無誤。


拋物柱面坐標系是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的拋物線坐標系 ,則可得到拋物柱面坐標系。其坐標曲面是共焦的拋物柱面。拋物柱面坐標可以應用於許多物理問題。例如,物體邊緣的位勢論

基本定義[编辑]

直角坐標 (x,\ y,\ z) 可以用拋物柱面坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) 表示為

x = \sigma \tau
y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)
z = z

其中,\sigma\ge 0\tau\ge 0

坐標 \sigma 為常數的曲線形成共焦的,凹性往 +y-軸的拋物柱面

2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

而坐標 \tau 為常數的曲線形成共焦的,凹性往 -y-軸的拋物柱面

2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

這些拋物柱面的焦線的位置都在 z-軸。

徑向距 r 的公式為

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)

當解析經典力學反平方連心力問題時,假若採用拋物柱面坐標的哈密頓-亞可比方程式,則會用到這很有用的公式。參閱拉普拉斯-龍格-冷次向量

標度因子[编辑]

拋物柱面坐標 \sigma\tau 的標度因子相等;而 z 的標度因子是 1 :

h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}
h_{z}=1

無窮小體積元素是

dV = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau dz

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right) +
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial z^{2}}

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\sigma,\ \tau,\ z) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[编辑]

拋物柱面坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,拋物柱面坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是,有一塊半無限的平板導體,請問其周圍的電場為什麼?應用拋物柱面坐標,我們可以精緻地分析這例題。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk
  • Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302. 

外部連結[编辑]