e進位

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依底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 16 20 36 60

e进制是以自然對數的底數——e作為進位制底数的进制。類似於三进制，通常使用0、1、2三个数字來表達，但由於除了0、1和2之外大部分的整數在e进制中皆需要用無窮小數來表示，因此不是一個實用的進位制，但在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

性質

在e进制中，自然對數的行為與十進制中的常用對數類似，例如：

$\ln 1_{\left(e\right)}=0$

$\ln 10_{\left(e\right)}=1$

$\ln 100_{\left(e\right)}=2$

$\ln 1000_{\left(e\right)}=3$

e进制效率

在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

當一個數用$x$進位（$x>0,x\in \mathbb {R}$）表達時，每個位數需要$x$種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素$N(x)$ ：

$N(x)=nx$

而$x$進制系統中表示的n位數的資訊量$I$（$I>x$）則有：

$I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}$

因此，在$x$進制系統中以n位數能表示I的信息量所需的存儲元素數$N(x)$為：

$N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}$

在

${\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}$

之下，求出哪個$x$能使$N(x)$最小即可， 即找到能使$N(x)$微分為0的$x$。

${\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}$

在$\ln x=1$時$N^{\prime }(x)$有根$N^{\prime }(x)=0$，

解得$x=e$

因此解得以$e$為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

與其他進制比較

e進制中，除了0、1和2之外，其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達，其中整數部分可透過貪婪演算法找出。

部分的e進制數

十進制	二進制	e進制	三進制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下：

• $\color {blue}\pi$ ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS數列A050948）
• $\color {blue}e$ = 10_(e)（在此記數系統為整數）
• $\color {blue}{\sqrt {2}}$ ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• $\color {blue}\varphi$ = ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS數列A105166）

參見

• e (數學常數)
• 廣義的進位制
• 三進制

參考文獻

1. 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
2. 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所