黃金比例

黃金分割是根據黃金比例，將一條線分割成兩段。總長度 a + b 与長度較長的 a 之比等于 a 与長度較短的 b 之比。

黃金比例，又稱黄金比，是一種数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618或1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。黄金分割早存在於大自然中，呈現於不少動物和植物外觀。現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用黄金分割，呈現其功能性與美觀性。

常用希腊字母 $\varphi$ 表示黄金比值，用代數式表達就是：$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \equiv \varphi$

發現歷史

黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞，但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，以目前的文獻探討我們可以說黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則，也發現了無理數。他側重於從數學關係去探討美的規律，並認為美就是和諧與比例，按照這種比例關係就可以組成美的圖案，這其實是一個數字的比例關係，即將一條線分成兩部分，較長的一段與較短的一段之此等於全長與較長的一段之比，它們的比例大約是1.618:1。按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。

公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。 公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。 公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。﹝即中末比﹞。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數學家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱神聖比例為黃金分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行，而證據在於德國數學家歐姆所寫的「基本純數學」的第二版一書中在注釋中寫到有關黃金比例的解釋，他是這樣寫 的「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法，稱為黃金分割」而在1875出版的大英百科全書的第九版中，蘇利有提到這一段話「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱，『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。二十世紀時美國數學家巴爾也給他一個叫 phi的名字。黃金分割有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛，造就了他今天的名氣。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

数学解释

兩個數值 a 和 b 構成黃金比例 $\varphi$ ，如果：$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi$

一個得出 $\varphi$ 數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入，

$\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi}$

於是：

$1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi$

兩邊乘以 $\varphi$ 就得到：

$\varphi + 1 = \varphi^2$

即是 ${\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0$

找出該一元二次方程的正解，

$\varphi = \frac{ 1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339887...$

黄金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618...的倒數為0.618... = 1.618... - 1。

從上面的 $1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi$ 得到：

${1 \over \varphi} = \varphi - 1$

這個0.618...的數值常用希臘字母 $\Phi$ 表示，即：

$\Phi = {1 \over \varphi} = {1 \over 1.61803\,39887\ldots} = 0.61803\,39887\ldots$ ，亦可表達為：

$\Phi = \varphi -1 = 1.61803\,39887\ldots -1 = 0.61803\,39887\ldots$

例子

• 黄金分割点

• 

  黄金矩形

• 

  鹦鹉螺的内部结构

• 

  帕提農神庙

• 

  联合国总部大楼

值

黄金分割数是无理数，前面为：

1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041893911374...

連分數表示：

$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = [1;1,1,1,1, ...]$

平方根表示：

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$

可用前面兩個式子證明。

贵金属分割

贵金属分割即 $\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$，其中n为自然数。n=1时为黄金分割（(1+√5)/2），n=2时为白银分割（1+√2），n=3时为青铜分割（(3+√13)/2）。用连分数表示为$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]$

参考文献

• 黃金比例;遠流出版公司;2004年;ISBN 957-32-5270-8