黄金分割

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本文介紹的是數學名詞。關於同名節目名稱，詳見「黃金比例 (遊戲節目)」。

汉漢▼▲

黃金分割是根據黃金比例，將一條線分割成兩段 . 總長度 a+b 与長度較長的 a 之比等于 a 与長度較短的 b之比.

黄金分割，又稱黄金比，是一種数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618或1.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。

[编辑] 發現歷史

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時毕达哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。

公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。

公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。

中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數学家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱神聖比例為黄金分割。

到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

[编辑] 数学解释

常用希腊字母 $φ$ 表示黄金比值。根据定义，如果假设a是单位长度，那么 $\frac{1+a}{a} =\frac{a}{1} = \varphi$

即有: $φ 2 = 1 + φ$

$\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.6180339887...$

黄金分割奇妙之處，在於其倒數為自身減1，即：1.618的倒數為0.618=1.618-1。因為：

$\varphi - 1 = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$\frac {1} {\varphi} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1}= \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{b}{a-b} = \varphi.$

   |..........a...........|

   +-------------+--------+   -
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |      B      |   A    |   b
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   |             |        |   .
   +-------------+--------+   -

   |......b......|..a-b...|

[编辑] 例子

黄金分割点

[编辑] 值

黄金分割数是无理数，前面的幾位为:

1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622...

連分數表示：

$\phi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = [1;1,1,1,1, ...]$

平方根表示：

$\phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}$

可用前面兩個式子證明

[编辑] 贵金属分割

贵金属分割即 $\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}$ ，其中n为自然数。n=1时为黄金分割（(1+√5)/2），n=2时为白银分割（1+√2），n=3时为青铜分割（(3+√13)/2）。用连分数表示为 $n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{\ddots}}}} = [n; n, n, n, n, \dots]$

[编辑] 参考文献

黃金比例;遠流出版公司;2004年;ISBN 957-32-5270-8