單位換算

單位換算是指同一個量在不同計量單位之間的轉換。它通常會用換算係數實現。

概述[編輯]

換算過程取決於場合和預期目的。它們可以由規定、合同或其他標準控制。在工程學，其他需要考慮的因素包括：

量度結果的精準度和精密度以及測量不確定度。
最初量度結果的信賴區間和公差範圍。
量度結果的有效數字數目。
量度結果的用途，包括公差。
單位的歷史定義，以及用於舊時量度的派生單位，如英尺和美國測量英尺。

一些從單位系統之間的換算需要準確，不能增加或減少最初量度結果的精密度。這有時稱為「軟換算」。它不涉及改變所量度物品的物理構造。

相反，「硬換算」或「自適應換算」不需要準確。它將量度單位轉為較為好用的數字和單位系統。它有時涉及物品稍微不同的構造或尺寸替換。^{[需要解釋]}它通常可以使用標稱值。

係數抵消[編輯]

係數抵消是利用代數換算單位的方法。^[1]^[2]^[3]

係數抵消是將以分數表達的換算係數擺放在一起，讓任何同時出現在分子和分母中的因次單位都可以被抵消，直到只剩下所需的因次單位。例如，10英里每小時可以用以下換算係數轉換為米每秒:

{\frac {\mathrm {10~{\cancel {mi}}} }{\mathrm {1~{\cancel {h}}} }}\times {\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~{\cancel {mi}}} }}\times {\frac {\mathrm {1~{\cancel {h}}} }{\mathrm {3600~s} }}=\mathrm {4.4704~{\frac {m}{s}}} .

每個換算係數的選擇準則是一個原有單位和一個所需單位（或者某個中間單位）之間的關係。例如，因為「英里」是原有分數和 $\mathrm {1~mi} =\mathrm {1609.344~m}$ 中的分子，「英里」需要是換算係數中的分母。將方程式的兩方除以1英里，得 ${\frac {\mathrm {1~mi} }{\mathrm {1~mi} }}={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ ，簡化後變成沒有因次的 $1={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ 。由於乘法單位元的性質，將任何數量乘以1，都不會改變該數量。^[4]原有分數乘以該換算係數以及秒每小時的係數後，「英里」和「小時」會抵消，所以10英里每小時等於4.4704米每秒。

再例如，工業熔爐的煙道氣中氮氧化物（NO_x）的濃度可以用以下資料轉為質量流量，以NO_x克每小時（g/h）表示：

NO_x濃度: = 百萬分比10的體積 = 10 ppmv = 10體積單位/10⁶體積單位
NO_x摩爾質量: = 46 kg/kmol = 46 g/mol
煙道氣的流量: = 20立方米每分鐘 = 20 m³/min; 煙道氣在0 °C的溫度和101.325 kPa的絕對壓強下離開熔爐。; 氣體在0 °C和101.325 kPa下的摩爾體積是22.414 m³/摩爾 (單位)。

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}}\times {\frac {10\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}}\times {\frac {20\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {gas}}}}}{1\ {\cancel {\ce {minute}}}}}\times {\frac {60\ {\cancel {\ce {minute}}}}{1\ {\ce {hour}}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {hour}}}

在以上算式中抵消所有同時出現於分子和分母的因次單位後，10 ppm_v的NO_x濃度等於24.63 克每小時的流量。

覆核涉及因次的方程式[編輯]

係數抵消也可以用於任何數學方程式，檢查左方的因次單位是否與右方的一樣。兩方有相同的單位，不代表方程式完全正確，但兩方有不同的單位（以基本單位表示），則表示方程式有錯誤。

例如，考慮理想氣體狀態方程，PV = nRT，其中：

壓強（P）以帕斯卡（Pa）表示
體積（V）以立方米（m³）表示
物質的量（n）以摩爾（mol）表示
氣體常數（R）是8.3145 Pa⋅m³/(mol⋅K)
溫度T以開爾文（K）表示

\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\times {\frac {\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} }{{\cancel {\mathrm {mol} }}\ {\cancel {\mathrm {K} }}}}\times {\frac {\cancel {\mathrm {K} }}{1}}

如上所示，在右方同時出現於分子和分母的因次單位被抵消時，方程式的兩方都有相同的單位。因次分析可用來建立方程式，聯繫本沒有關係的物理化學性質。方程式可以展示物質此前未知或被忽視的性質，而它們以剩下因次的形式出現。需要注意的是，這些「數學技巧」既有前例，也在科學界有一定的重要性。物理學基本常數普朗克常數得到「發現」時，它只是基於瑞利-金斯定律建立的抽象數學概念，以防止紫外災變。它開始在量子物理扮演關鍵角色時，可以是在得到因次分析處理的同時或之後，但不能是之前。

限制[編輯]

係數抵消只能轉換線性關係的單位量，而大多數單位都符合這個關係。例如，係數抵消不適用於攝氏度和開爾文（或華氏度）之間的換算。攝氏度和開爾文間有恆定的差，而不是恆定的比；攝氏度和華氏度間既沒有恆定的差，也沒有恆定的比。然而，它們之間有仿射變換（ $x\mapsto ax+b$ ，而不是線性變換的 $x\mapsto ax$ ）。

例如，水的冰點是0 °C和32 °F，而5 °C的變化相當於9 °F的變化，因此，要將華氏度轉為攝氏度，則需要減去32 °F（參考點的差），除以9 °F，乘以5 °C（單位的比），最後加0 °C（參考點的差）。反轉這個過程，則是相當於將攝氏度轉換到華氏度。即使這個過程以100 °C和212 °F開始，也不會影響最後的公式。

因此，以下公式可以將華氏度的某個溫度值（T[F]）轉換至攝氏度的溫度值（T[C]）：

T[C] = (T[F] − 32) × 5/9.

以下公式可以將攝氏度（T[C]）轉換至華氏度（T[F]）：

T[F] = (T[C] × 9/5) + 32.

涉及非SI單位的計算[編輯]

如果公式使用非SI單位，則可以先求出初步係數，再將數值代入給定/已知的數量，最後完成計算。

例如，在玻色–愛因斯坦凝聚體的研究中，^[5]原子質量（ $m$ ）通常以道爾頓——而不是公斤——表示；化學位能（ $μ$ ）往往以波茲曼常數乘以奈開爾文表示。

凝聚體的治癒長度（英語：Gross–Pitaevskii equation#Healing length）由以下公式表示：

\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}\,.

假設有一個化學位能為（波茲曼常數乘以）128 nK的²³Na凝聚體，其治癒長度（微米）可以在兩步內求出：

計算初步係數[編輯]

假設 $m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}\,$ ，則

\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,

是計算需要的初步係數。

計算數字[編輯]

利用 $\xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}$ 。已知 $m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}$ ， $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}$ 。

在編程或製造工作表中，輸入數量有幾種數值，這個方法也特別有用。例如，利用上面計算的初步係數，化學位能為20.3 nK的¹⁷⁴Yb的治癒長度是 $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}$ 。

軟件工具[編輯]

諸如試算表數據庫、計算器、巨集套件或插件的函數庫都安裝了換算工具。很多獨立應用程序也提供換算服務。例如，自由軟件運動為Linux和Windows提供命令行實用程式GNU units（英語：GNU units）。

參見[編輯]

注釋和參考文獻[編輯]

^ Goldberg, David. Fundamentals of Chemistry 5th. McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-322104-5.
^ Ogden, James. The Handbook of Chemical Engineering. Research & Education Association. 1999. ISBN 978-0-87891-982-6.
^ Dimensional Analysis or the Factor Label Method. Mr Kent's Chemistry Page. [2023-05-02]. （原始內容存檔於2021-04-10）.
^ Identity property of multiplication. [2015-09-09]. （原始內容存檔於2023-05-05）.
^ Foot, C. J. Atomic physics. Oxford University Press. 2005. ISBN 978-0-19-850695-9 （英語）.

外部連接[編輯]

NIST: Fundamental physical constants — Non-SI units (PDF). [2004-03-15]. （原始內容 (PDF)存檔於2016-12-27）. (35.7 KB)
NIST Guide to SI Units （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Many conversion factors listed.
The Unified Code for Units of Measure
Units, Symbols, and Conversions XML Dictionary （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
開放目錄專案中的「Units of Measurement Software」
開放目錄專案中的「Units of Measurement Online Conversion」
（法語）"Instruction sur les poids et mesures républicaines:
déduites de la grandeur de la terre,
uniformes pour toute la République,
et sur les calculs relatifs à leur division décimale"

[1] Goldberg, David. Fundamentals of Chemistry 5th. McGraw-Hill. 2006. ISBN 978-0-07-322104-5.

[2] Ogden, James. The Handbook of Chemical Engineering. Research & Education Association. 1999. ISBN 978-0-87891-982-6.

[3] Dimensional Analysis or the Factor Label Method. Mr Kent's Chemistry Page. [2023-05-02]. （原始內容存檔於2021-04-10）.

[4] Identity property of multiplication. [2015-09-09]. （原始內容存檔於2023-05-05）.

[5] Foot, C. J. Atomic physics. Oxford University Press. 2005. ISBN 978-0-19-850695-9 （英語）.

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