支撐集

支撐集（英語：support，簡稱支集），是一個數學概念，它是集合$X$的一個子集，要求對給定的$X$上定義的實值函數$f$在這個子集上恰好非0。最常見的情形是，$X$是一個拓撲空間，比如實數軸等等，而函數$f$在此拓撲下連續。此時，$f$的支撐集被定義為這樣一個閉集$C$：$f$在$X\backslash C$中為${0}$，且不存在$C$的真閉子集也滿足這個條件，即，$C$是所有這樣的子集中最小的一個。拓撲意義上的支撐集是點集意義下支撐集的閉包。

特別地，在概率論中，一個概率分布是隨機變量的所有可能值組成的集合的閉包。

閉支撐

常見的情況出現為：$X$是一個拓撲空間（例如實軸或n維歐幾里得空間），並且$f:X\to \mathbb {R}$是連續的實值函數（或復值函數）。此時，$f$的支撐在拓撲上定義為使得$f$非零的$X$子集的閉包 ，即：

$$\operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{c}\right)}}.$$

由於閉集的交集也是閉集，所以$\operatorname {supp} (f)$是集合論中所有包含$f$支撐的閉集的交集。

例如，$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$定義如下：

$$f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}$$

$f$的支撐是閉區間$[-1,1]$，因為$f$在開區間$(-1,1)$非零，其閉包為$[-1,1]$。

閉支撐的概念通常用於描述連續函數，但該定義對拓撲空間上的任意實值或復值函數都有意義，有些作者不要求 $f:X\to \mathbb {R}$（或 $f:X\to \mathbb {C}$不需要）連續。

緊支撐

如果某函數的支撐集是 $X$ 中的一個緊集，此函數被稱為是緊支撐於空間 $X$ 的。例如，若 $X$ 是實數軸，那麼所有在無窮遠處消失的函數都是緊支撐的。事實上，這是函數必須在有界集外為$0$的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函數所構成的集合，在所有在無窮遠處消失的函數構成的集合中，是稠密集的，當然在給定的具體問題中，這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的 $\epsilon >0$，一個定義在實數軸 $X$ 上的函數 $f$ 在無窮遠處消失，可以粗略通過選取一個緊子集 $C$ 來描述：

$|f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon$

其中 $1_{C}(x)$ 表示 $C$ 的指示函數。

注意，任何定義在緊空間上的函數都是緊支撐的。

當然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布，比如狄拉克函數：定義在直線上的 $\delta (x)$。此時，我們考慮一個測試函數 $F$，並且 $F$ 是光滑的，其支撐集不包括 $0$。由於 $\delta (F)$ （即 $\delta$ 作用於 $F$）為 $0$，所以我們說 $\delta$ 的支撐集為 $\{0\}$。注意實數軸上的測度（包括概率測度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。

奇支集

在傅立葉分析的研究中，一個分布的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地說，這個集合的元素都是所謂的奇異點，即使得這個分布不能局部地看作一個函數的點。

例如，單位階躍函數的傅立葉變換，在忽略常數因子的情況下，可以被認為是$1/x$，但這在$x=0$時是不成立的。所以很明顯地，$x=0$是一個特殊的點，更準確地說，這個分布的傅立葉變換的奇支集是$\{0\}$，即對於一個支撐集包括$0$的測試函數而言，這個分布的作用效果不能表示為某個函數的作用。當然這個分布可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分。

對於多變量的分布，奇支集也可以更精確地被描述為波前集，從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分布理論中的特殊現象，如在試圖將分布'相乘'時候導致的問題（狄拉克函數的平方是不存在的，因為兩個相乘的分布的奇支集必須不相交）。

支撐族

支撐族是一個抽象的拓撲概念，昂利·嘉當在一個層中定義了這個概念。在將龐加萊對偶性推廣到非緊的流形上的時候，在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。

Bredon的書《Sheaf Theory》(第二版 1997)中給出了這些定義。$X$的一組閉子集$\Phi$是一個支撐族，如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的擴張是$\Phi$的並。一個仿緊化(paracompactifying)的支撐族對於任何$Y\in \Phi$，在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間，並且存在一些$Z\in Pi$是一個鄰域。如果$X$是一個局部緊空間，並且是豪斯多夫空間，所有的緊子集組成的族滿足上的條件，那麼就是仿緊化的。