除以零

除以0時計算器的錯誤

在數學中，被除數的除數（分母）是零或將某數除以零，可表達為${\frac {a}{0}}$，$a$是被除數。在算式中沒有意義，因為沒有數目，以零相乘（假設$a\neq 0$），由於任何數字乘以零均等於零，因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中，此式為無意義。在程序設計中，當遇上正整數除以零程序會中止，正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況，而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中，除以零會直接顯示#DIV/0! 。

基本算術

基本算術中，除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如，$10$個蘋果平分給$5$人，每人可得${\frac {10}{5}}=2$個蘋果。同理，$10$個蘋果只分給$1$人，則其可獨得${\frac {10}{1}}=10$個蘋果。

若除以$0$又如何？若有$10$顆蘋果，無人（$0$解作沒有）來分，每「人」可得多少蘋果？問題本身是無意義的，因根本無人來，論每「人」可得多少，根本多餘。因此，${\frac {10}{0}}$，在基本算術中，是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「$13$除以$5$」，換一種說法，$13$減去兩個$5$，餘下$3$，即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數，算式為${\frac {13}{5}}=2$餘數$3$。若某數除以零，就算不斷減去零，餘數也不可能小於除數，使得算式與無窮拉上關係，超出基本算術的範疇。此解釋也有一問題，即為無窮大乘以零仍是零。

早期嘗試

婆羅摩笈多（598–668年）的著作《婆羅摩曆算書》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確，根據婆羅摩笈多所說，

“ 一個正或負整數除以零，成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。 ”

830年，另一位數學家摩訶吠羅在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤，但不成功：

“ 一數字除以零會維持不變。 ”

婆什迦羅第二嘗試解決此問題，答案是讓${\frac {n}{0}}=\infty$。雖然此定義有一定道理，但會導致一個悖論：$0\times \infty$的結果可以是任意一個數，所以所有的數都是相同的。

在微積分和數學分析中，像$0\times \infty$或${\frac {0}{0}}$這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的，結果可能是任意數。

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代數處理

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即${\frac {a}{b}}$值是方程$bx=a$中$x$的解（若有的話）。若設$b=0$，方程式$bx=a$可寫成$0\times x=a$或直接$0=a$。因此，方程式$bx=a$沒有解（當$a\neq 0$時），但$x$是任何數值也可解此方程（當$a=0$時）。在各自情況下均沒有獨一無二的數值，所以${\frac {a}{b}}$未能下定義。

除以零的謬誤

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：$2=1$

式：

$0a=0$

試：

$a=1$：正確

$a=2$：正確

得出：

$0\times 1=0\times 2$

除以零得出

${\frac {0}{0}}\times 1=2$

簡化，得出：

$1=2\,$

以上謬論假設，某數除以0是容許的，並且${\frac {0}{0}}=1$。

另一個簡潔的證明

設$a=b$，則 $$a^{2}=ab$$ 兩邊同時減去$b^{2}$，由平方差公式得 $$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$ 兩邊除以$(a-b)$， $$a+b=b$$ 故$a=0$。

通過上面的過程，證明了一切數字等於$0$。此謬論是由於簡化的過程不正確，計算過程使用了「除以零」。

因為$(a-b)$是零，所以不能夠把左右兩邊的$(a-b)$刪去。

虛假的除法

在矩陣代數或線性代數中，可定義一種虛假的除法，設${\frac {a}{b}}=ab^{+}$，當中$b^{+}$代表$b$的虛構倒數。這樣，若$b^{-}$存在，則$b^{+}=b^{-}$。若$b=0$，則$0^{+}=0$；參見廣義逆。

數學分析

函數$f(x)={\frac {1}{x}}$的圖像。當x趨向0，左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。

擴展的實數軸

表面看來，可以藉着考慮隨着$b$趨向$0$的${\frac {a}{b}}$來定義「除以零」。

對於任何正數$a$，右極限是

$\lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty$

另一方面，左極限是

$\lim _{b\to 0^{-}}{a \over b}={-}\infty$

由於左極限及右極限不相同，因此函數在$x=0$的極限不存在，該點沒有定義。同樣地，若$a$是負數，極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零，則可使用洛必達法則計算。

不定型極限

不定型（Indeterminate Form）的極限可透過四則運算或洛必達法則計算。

考慮函數$f(x)={\frac {x^{2}-9}{x-3}}$

如果直接代入$x=3$，會得到零除以零，這是沒有意義的。

$f(3)={\frac {3^{2}-9}{3-3}}={\frac {0}{0}}$

但透過約簡分子及分母，該點的極限是可以計算的。

$\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-9}{x-3}}=\lim _{x\to 3}{\frac {(x+3)(x-3)}{x-3}}=\lim _{x\to 3}x+3=6$

此外，函數的極限可透過洛必達法則計算。

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

若隨着$x$趨向$0$，$f(x)$與$g(x)$均趨向$0$，該極限可等於任何實數或無限，或者根本不存在，視乎$f$及$g$是何函數。

形式推算

運用形式推算，正號、負號或沒有正負號因情況而定，除以零定義為：

$\lim \limits _{x\to 0}{{\frac {1}{x}}={\frac {\lim \limits _{x\to 0}{1}}{\lim \limits _{x\to 0}{x}}}}=\infty .$

黎曼球

集合$\mathbb {C} \cup \{\infty \}$為黎曼球（Riemann sphere），在複分析中相當重要。

計算機科學

不同程式語言下除以零的結果

程式語言	整數	浮點數
C語言	未定義行為，早期計算機可能崩潰；如果0是常量，可能導致編譯警告。	無窮大或NaN
Java	拋出ArithmeticException異常	無窮大或NaN
JavaScript	不適用，JavaScript無整數類型	無窮大或NaN
Python	拋出ZeroDivisionError異常	拋出ZeroDivisionError異常；但是部分Python包提供的運算函數除外

在計算機中，除以零的結果根據編程語言、軟硬件環境、數據類型、數值而不同。部分語言中，無論是整數還是浮點數，除以0均會產生異常，而在另一部分語言中，整數除以零會產生異常或未定義行為，而浮點數除以零的結果如下：

• 零與NaN除以零：NaN（註：NaN不等於NaN）
• 零與NaN以外的數除以符號相同的0（如1除以0）：正無窮大
• 零與NaN以外的數除以符號不同的0（如1除以-0、-1除以0）：負無窮大

參考

• Patrick Suppes 1957 (1999 Dover edition), Introduction to Logic, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-40687-3 (pbk.).

• Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).

• Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀

• Jakub Czajko (July 2004) "On Cantorian spacetime over number systems with division by zero", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.

• Ben Goldacre. Maths Professor Divides By Zero, Says BBC. 2006-12-07 [2008-04-23]. （原始內容存檔於2008-05-27）. 

參見

• 漸近線
• 0/0
• 引力奇點