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定態

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設想經典力學裏的諧振子 系統(A-B),一條彈簧的一端固定不動,另一端有一個帶質量圓球;在量子力學裏, (C-H)展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置,豎軸坐標表示機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。(C-F)是定態,(G、H)不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。
描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊:波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。右邊:找到粒子在某位置的機率,這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態,最下面橫排是疊加態

量子力學裏,定態(stationary state)是一種量子態,定態的機率密度與時間無關。以方程式表式,定態的機率密度對於時間的導數為

其中, 是定態的波函數 是位置, 是時間 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式

其中,約化普朗克常數 是質量,位勢

這個方程式有一個定態的波函數解:

其中, 的不含時間部分, 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式,則可除去時間關係:

這是一個不含時薛丁格方程式,可以用來求得本徵能量 與伴隨的本徵函數 。定態的能量都是明確的,是定態薛丁格方程式的本徵能量 ,波函數 是定態薛丁格方程式的本徵函數

機率密度與時間無關[编辑]

雖然定態 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目:

所以,定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如,位置的期望值

再舉一例,動量的期望值

所以, 都與時間無關。一般而言,給予任意一個位置與動量的函數 ,期望值 必然與時間無關。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.