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定態

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設想經典力學裏的諧振子 系統(A-B),一條彈簧的一端固定不動,另一端有一個帶質量圓球;在量子力學裏, (C-H)展示出同樣系統的薛丁格方程式的六個波函數解。橫軸坐標表示位置,豎軸坐標表示機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。(C-F)是定態,(G、H)不是定態。定態的能量為駐波振動頻率與約化普朗克常數的乘積。
描述諧振子的含時薛丁格方程式的三個波函數解。左邊:波函數機率幅的實部(藍色)或虛部(紅色)。右邊:找到粒子在某位置的機率,這說明了為甚麼機率與時間無關的量子態被稱為「定態」。上面兩個橫排是定態,最下面橫排是疊加態 \psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}

量子力學裏,定態(stationary state)是一種量子態,定態的機率密度與時間無關。以方程式表式,定態的機率密度對於時間的導數為

\frac{d}{dt}|\Psi(x,\,t)|^2=0

其中,\Psi(x,\,t) 是定態的波函數x 是位置,t 是時間 。

設定一個量子系統的含時薛丁格方程式

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi

其中,\hbar約化普朗克常數m 是質量,V(x)位勢

這個方程式有一個定態的波函數解:

\Psi(x,\,t)=\psi(x)e^{ - iEt/\hbar}

其中,\psi(x)\Psi(x,\,t) 的不含時間部分,E 是能量。

將這定態波函數代入含時薛丁格方程式,則可除去時間關係:

 - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+V\psi=E\psi

這是一個不含時薛丁格方程式,可以用來求得本徵能量 E 與伴隨的本徵函數 \psi_E(x) 。定態的能量都是明確的,是定態薛丁格方程式的本徵能量 E ,波函數 \psi(x) 是定態薛丁格方程式的本徵函數 \psi_E(x)

機率密度與時間無關[编辑]

雖然定態 \Psi(x,\,t) 很明顯的含時間。含時間部分是個相位因子。定態的機率密度不含有相位因子這項目:

|\Psi(x,\,t)|^2=|\psi(x)|^2

所以,定態的機率密度與時間無關。一個直接的後果就是期望值也都與時間無關。例如,位置的期望值 \langle x\rangle

\begin{align}\langle x\rangle & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)x\Psi(x,\,t)\,dx \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\Psi(x,\,t)|^2\,dx \\
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\,x|\psi(x)|^2\,dx \\
\end{align}

再舉一例,動量的期望值 \langle p\rangle

\begin{align}\langle p\rangle
 & =\int_{ - \infty}^{\infty}\Psi^*(x,\,t)\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,\,t)\,dx \\
 & =\frac{\hbar}{i} \int_{ - \infty}^{\infty}\psi(x)e^{iEt/\hbar} \frac{\partial}{\partial x}(\psi(x)e^{ - iEt/\hbar})\,dx \\
 & =\frac{\hbar}{i}\int_{ - \infty}^{\infty}\,\psi^*(x)\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)\,dx \\
\end{align}

所以,\langle x\rangle\langle p\rangle 都與時間無關。一般而言,給予任意一個位置與動量的函數 f(x,\,p) ,期望值 \langle f(x,\,p)\rangle 必然與時間無關。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.