圆柱坐标系

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用圆柱坐标 来表示一个点的位置

圆柱坐标系(英语:cylindrical coordinate system)是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标 专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ,径向距离、方位角、高度,分别标记为

定义[编辑]

圆柱坐标 坐标曲面。红色圆柱面的 。蓝色平面的 。黄色半平面的 。 z-轴是垂直的,以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P (以黑球表示)。点 P 的直角坐标大约为

如图右,P 点的圆柱坐标是

  • 是 P 点与 z-轴的垂直距离。
  • 是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角。
  • 直角坐标 等值。

符号约定[编辑]

圆柱坐标系的记号并不统一。ISO标准31-11推荐(ρ, φ, z),这里的ρ是径向距离,φ方位角,而z是高度。但是,径向距离也常表示为rs,方位角也常表示为θt,高度坐标也常表示为hx(如果圆柱轴被认为是水平的)或任何特定于上下文的字母。

坐标系变换[编辑]

三维空间里,有许多各种各样的坐标系。圆柱坐标系只是其中一种。圆柱坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系[编辑]

使用以下方程式,可以从直角坐标变换为圆柱坐标:

特别注意,当求取方位角时,必须依照 所处的象限来计算正确的反正切值。

相反地, 可以从圆柱坐标变换为直角坐标:

球坐标系[编辑]

用球坐标 来表示一个点的位置

使用以下方程式,可以从球坐标变换为圆柱坐标:

相反地, 可以从圆柱坐标变换为球坐标:

圆柱坐标系下的微积分公式[编辑]

圆柱坐标系的坐标因子分别为

Nabla cylindrical2.svg

在许多关于圆柱坐标系的问题中,我们时常需要知道线元素与体积元素的方程式;用这些方程式来求解关于径长或体积的积分问题。线元素是

面积元素是

体积元素是

劈形算符表示为

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用[编辑]

圆柱坐标常被用来分析,选用 z-轴为对称轴,有轴对称特性的物体。例如,一个无限长的圆柱,具有直角坐标方程式 ;用圆柱坐标来表示,有一个非常简易的方程式 。这也是圆柱坐标系名称的由来。

参见[编辑]

参阅[编辑]