圓柱坐標系

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用圓柱坐標 來表示一個點的位置

圓柱坐標系cylindrical coordinate system)是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ,徑向距離、方位角、高度,分別標記為

如圖右,P 點的圓柱坐標是

  • 是 P 點與 z-軸的垂直距離。
  • 是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
  • 直角坐標 等值。
圓柱坐標 坐標曲面。紅色圓柱面的 。藍色平面的 。黃色半平面的 。 z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑球表示)。點 P 的直角坐標大約為

坐標系變換[編輯]

三維空間裏,有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系[編輯]

使用以下方程式,可以從圓柱坐標變換為直角坐標:

特別注意,當求取方位角時,必須依照 所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從直角坐標變換為圓柱坐標:

球坐標系[編輯]

用球坐標 來表示一個點的位置

使用以下方程式,可以從球坐標變換為圓柱坐標:

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標:

坐標因子[編輯]

圓柱坐標系的坐標因子分別為

在許多關於圓柱坐標系的問題中,我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式;用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

面積元素是

體積元素是

劈形算符表示為

拉普拉斯算子

其它微分算子,像 ,都可以用 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用[編輯]

圓柱坐標常被用來分析,選用 z-軸為對稱軸,有軸對稱特性的物體。例如,一個無限長的圓柱,具有直角坐標方程式 ;用圓柱坐標來表示,有一個非常簡易的方程式 。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

參閱[編輯]