复底数进制 是指底数 为虚数 或复数 的进位制 系统。
其中，底数为虚数 的进位制系统最早由高德纳 于1955年提出[ 1] [ 2] 复数 的进位制系统于1964年由所罗门·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）[ 3] [ 4] [ 5] [ 6]
令
D
{\displaystyle D}
整环
⊂
C
{\displaystyle \subset \mathbb {C} }
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
（阿基米德）绝对赋值 。
数
X
∈
D
{\displaystyle X\in D}
进位制 系统中可以表示为：
X
=
±
∑
ν
x
ν
ρ
ν
,
{\displaystyle X=\pm \sum _{\nu }^{}x_{\nu }\rho ^{\nu },}
其中
ρ
∈
D
{\displaystyle \rho \in D}
为底数 ，并满足
|
ρ
|
>
1
{\displaystyle |\rho |>1}
ν
∈
Z
{\displaystyle \nu \in \mathbb {Z} }
是指数 ，代表各个位数，
x
ν
{\displaystyle x_{\nu }}
是进制中每个位数，来自有限的位数数码集合
Z
⊂
D
{\displaystyle Z\subset D}
|
x
ν
|
<
|
ρ
|
.
{\displaystyle |x_{\nu }|<|\rho |.}
其势
R
:=
|
Z
|
{\displaystyle R:=|Z|}
进位制 系统或编码系统 是一对二元组：
⟨
ρ
,
Z
⟩
{\displaystyle \left\langle \rho ,Z\right\rangle }
包括了其底数
ρ
{\displaystyle \rho }
Z
{\displaystyle Z}
R
{\displaystyle R}
Z
R
:=
{
0
,
1
,
2
,
…
,
R
−
1
}
.
{\displaystyle Z_{R}:=\{0,1,2,\dotsc ,{R-1}\}.}
理想的进位制 系统或编码系统 具有以下特性：
任何在环
D
{\displaystyle D}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
高斯整数
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}
Z
[
−
1
+
i
7
2
]
{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}\right]}
正负号 ±。
任何在分式环
K
:=
Quot
(
D
)
{\displaystyle K:=\operatorname {Quot} (D)}
完备化 （
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
度量 的意义下）所得的
K
:=
R
{\displaystyle K:=\mathbb {R} }
K
:=
C
{\displaystyle K:=\mathbb {C} }
|
⋅
|
{\displaystyle |\cdot |}
ν
→
−
∞
{\displaystyle \nu \to -\infty }
X
{\displaystyle X}
测度 为0。后者要求集合
Z
{\displaystyle Z}
R
=
|
ρ
|
{\displaystyle R=|\rho |}
R
=
|
ρ
|
2
{\displaystyle R=|\rho |^{2}}
在这种表示法中，一般常见的标准十进制 表示为：
⟨
10
,
Z
10
⟩
,
{\displaystyle \left\langle 10,Z_{10}\right\rangle ,}
标准二进制 系统表示为：
⟨
2
,
Z
2
⟩
,
{\displaystyle \left\langle 2,Z_{2}\right\rangle ,}
负二进制系统表示为：
⟨
−
2
,
Z
2
⟩
,
{\displaystyle \left\langle -2,Z_{2}\right\rangle ,}
平衡三进位 系统表示为[ 2]
⟨
3
,
{
−
1
,
0
,
1
}
⟩
.
{\displaystyle \left\langle 3,\{-1,0,1\}\right\rangle .}
上述这几个进位制 系统在
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
较广为人知的复底数进位制 系统包括下列几个进位制系统（其中
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
虚数单位 ）：
⟨
R
,
Z
R
⟩
{\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}},Z_{R}\right\rangle }
⟨
±
i
2
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }
[ 1]
i
2
{\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}
⟨
±
2
i
,
Z
4
⟩
{\displaystyle \left\langle \pm 2\mathrm {i} ,Z_{4}\right\rangle }
[ 2] 2i进制 ，由高德纳 于1995年提出。
⟨
2
e
±
π
2
i
=
±
i
2
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {\pi }{2}}\mathrm {i} }=\pm \mathrm {i} {\sqrt {2}},Z_{2}\right\rangle }
⟨
2
e
±
3
π
4
i
=
−
1
±
i
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \left\langle {\sqrt {2}}e^{\pm {\tfrac {3\pi }{4}}\mathrm {i} }=-1\pm \mathrm {i} ,Z_{2}\right\rangle }
[ 3] [ 5] −1 ± i
⟨
R
e
i
φ
,
Z
R
⟩
{\displaystyle \left\langle {\sqrt {R}}e^{\mathrm {i} \varphi },Z_{R}\right\rangle }
φ
=
±
arccos
(
−
β
/
(
2
R
)
)
{\displaystyle \varphi =\pm \arccos {(-\beta /(2{\sqrt {R}}))}}
β
<
min
(
R
,
2
R
)
{\displaystyle \beta <\min(R,2{\sqrt {R}})}
β
{\displaystyle \beta _{}^{}}
R
{\displaystyle R}
[ 7]
β
=
1
{\displaystyle \beta =1}
R
=
2
{\displaystyle R=2}
⟨
−
1
+
i
7
2
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \left\langle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}},Z_{2}\right\rangle }
−
1
+
i
7
2
{\displaystyle {\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}
⟨
2
e
π
3
i
,
A
4
:=
{
0
,
1
,
e
2
π
3
i
,
e
−
2
π
3
i
}
⟩
{\displaystyle \left\langle 2e^{{\tfrac {\pi }{3}}\mathrm {i} },A_{4}:=\left\{0,1,e^{{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} },e^{-{\tfrac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }\right\}\right\rangle }
[ 8]
⟨
−
R
,
A
R
2
⟩
{\displaystyle \left\langle -R,A_{R}^{2}\right\rangle }
A
R
2
{\displaystyle A_{R}^{2}}
r
ν
=
α
ν
1
+
α
ν
2
i
{\displaystyle r_{\nu }=\alpha _{\nu }^{1}+\alpha _{\nu }^{2}\mathrm {i} }
α
ν
∈
Z
R
{\displaystyle \alpha _{\nu }^{}\in Z_{R}}
⟨
−
2
,
{
0
,
1
,
i
,
1
+
i
}
⟩
{\displaystyle \left\langle -2,\{0,1,\mathrm {i} ,1+\mathrm {i} \}\right\rangle }
[ 8]
⟨
ρ
=
ρ
2
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \rho =\rho _{2},Z_{2}\right\rangle }
ρ
2
=
{
(
−
2
)
ν
2
if
ν
even,
(
−
2
)
ν
−
1
2
i
if
ν
odd.
{\displaystyle \rho _{2}={\begin{cases}(-2)^{\tfrac {\nu }{2}}&{\text{if }}\nu {\text{ even,}}\\(-2)^{\tfrac {\nu -1}{2}}\mathrm {i} &{\text{if }}\nu {\text{ odd.}}\end{cases}}}
[ 9] 复数 的二元系统是仅使用两个数码 ——0和1的进位制 系统，即位数数码集合为
Z
2
=
{
0
,
1
}
{\displaystyle Z_{2}=\{0,1\}}
进位制 系统，这类记数系统 具有较实际的用途[ 9]
⟨
ρ
,
Z
2
⟩
{\displaystyle \langle \rho ,Z_{2}\rangle }
进位制 系统（皆为上述进位制 系统的特例），并用其表达−1, 2, −2, i 二进制 （下表的第一列）和“负二进制”（下表的第二列）供比较。这两个进位制无法真正地表达出虚数单位i
部分的进位制 系统和一些数的表达[ 10]
底数
–1 ←
2 ←
–2 ←
i 多种表示形式的数
2 −1
10
−10
i 1 ←
0.1 = 1.0
–2
11
110
10
i 1 / 3 0.01 = 1.10
i
2
{\displaystyle \mathrm {i} {\sqrt {2}}}
101
10100
100
10.101010100...[ 注 1]
1
3
+
1
3
i
2
{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {i} {\sqrt {2}}}
0.0011 = 11.1100
−
1
+
i
7
2
{\displaystyle {\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}}
111
1010
110
11.110001100...[ 注 1]
3
+
i
7
4
{\displaystyle {\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{4}}}
1.011 = 11.101 = 11100.110
ρ
2
{\displaystyle \rho _{2}}
101
10100
100
10
1 / 3 1 / 3 i 0.0011 = 11.1100
–1+i
11101
1100
11100
11
1 / 5 3 / 5 i 0.010 = 11.001 = 1110.100
2i 103
2
102
10.2
1 / 5 2 / 5 i 0.0033 = 1.3003 = 10.0330 = 11.3300
与所有具有阿基米德绝对赋值 的进位制 系统一样，有些数字具有多种表示形式。此类数字的范例显示在表格的右栏中。这些数都是循环小数，其循环节以上标水平线标记。
若要将一高斯整数
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
底数 的进位制
⟨
b
,
Z
R
⟩
{\displaystyle \left\langle b,Z_{R}\right\rangle }
数 分成一个可被底数整除的高斯整数和一个位于位数数码集合内的数，并将可被底数整除的高斯整数部分除以底数当作商，位于位数数码集合内的数当作余数，并用商数继续计算，并重复以上步骤，直到商为零，一系列的余数部分即为变换完成的结果。[ 11] :41
z
=
q
1
b
+
a
0
{\displaystyle z_{\,}=q_{1}b+a_{0}}
q
1
=
q
2
b
+
a
1
{\displaystyle q_{1}=q_{2}b+a_{1}}
q
2
=
q
3
b
+
a
2
{\displaystyle q_{2}=q_{3}b+a_{2}}
⋮
{\displaystyle \quad \quad \vdots }
q
t
=
0
b
+
a
t
{\displaystyle q_{t}=0_{\,}b+a_{t}}
其中，
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
q
3
{\displaystyle q_{3}}
q
t
{\displaystyle q_{t}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
2
{\displaystyle a_{2}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
a
t
{\displaystyle a_{t}}
则
z
=
(
a
t
⋯
a
2
a
1
a
0
)
b
{\displaystyle z=\left(a_{t}\cdots a_{2}a_{1}a_{0}\right)_{b}}
以5+12i变换成-2+i进制（
⟨
−
2
+
i
,
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
}
⟩
{\displaystyle \left\langle -2+\mathrm {i} ,\{0,1,2,3,4\}\right\rangle }
[ 11] :42
5
+
12
i
{\displaystyle 5+12\mathrm {i} }
=
{\displaystyle =}
(
2
−
5
i
)
(
−
2
+
i
)
+
4
{\displaystyle \left(2-5\mathrm {i} \right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+4}
2
−
5
i
{\displaystyle 2-5\mathrm {i} }
=
{\displaystyle =}
(
−
1
+
2
i
)
(
−
2
+
i
)
+
2
{\displaystyle \left(-1+2\mathrm {i} \right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+2}
−
1
+
2
i
{\displaystyle -1+2\mathrm {i} }
=
{\displaystyle =}
(
2
)
(
−
2
+
i
)
+
3
{\displaystyle \left(2\right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+3}
2
{\displaystyle 2}
=
{\displaystyle =}
(
0
)
(
−
2
+
i
)
+
2
{\displaystyle \left(0\right)\left(-2+\mathrm {i} \right)+2}
故5+12i(10) 变换成-2+i进制为2324(−2+i) 。
在−1+i 较常被讨论的复底数进制是2i进制 和−1 ± i −1 + i −1 − i 高斯整数 。
−1 ± i [ 3] [ 4] [ 6]
−1±i
十进制
二进制
2i进制
−1+i −1−i
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
2
10
2
1100
1100
−1
−1
103
11101
11101
−2
−10
102
11100
11100
i i 10.2
11
111
2i 10i 10
1110100
100
3i 11i 20.2
1110111
110011
−i −i 0.2
111
11
−2i −10i 1030
100
1110100
−3i −11i 1030.2
110011
1110111
1+i 1+i 11.2
1110
111010
1−i 1−i 1.2
111010
1110
−1+i −1+i 113.2
10
110
−1−i −1−i 103.2
110
10
整数的舍入区域——即在这系统表达之下，共用整数部分的复数（非整数）集合
S
{\displaystyle S}
分形 ：twindragon。根据定义，集合
S
{\displaystyle S}
∑
k
≥
1
x
k
(
i
−
1
)
−
k
{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}}
x
k
∈
Z
2
{\displaystyle x_{k}\in Z_{2}}
S
{\displaystyle S}
1
4
S
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}S}
S
{\displaystyle S}
1
2
S
{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S}
(
i
−
1
)
S
=
S
∪
(
S
+
1
)
{\displaystyle (\mathrm {i} -1)S=S\cup (S+1)}
2
15
←
0.
00001100
¯
{\displaystyle {\tfrac {2}{15}}\gets 0.{\overline {00001100}}}
1
15
i
←
0.
00000011
¯
{\displaystyle {\tfrac {1}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00000011}}}
−
8
15
←
0.
11000000
¯
{\displaystyle -{\tfrac {8}{15}}\gets 0.{\overline {11000000}}}
−
4
15
i
←
0.
00110000
¯
{\displaystyle -{\tfrac {4}{15}}\mathrm {i} \gets 0.{\overline {00110000}}}
1 / 15 [ 2] :206 。
由此，复矩形
[
−
8
15
,
2
15
]
×
[
−
4
15
,
1
15
]
i
{\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }
透过单射
∑
k
≥
1
x
k
(
i
−
1
)
−
k
↦
∑
k
≥
1
x
k
b
−
k
{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\mapsto \sum _{k\geq 1}x_{k}b^{-k}}
映入实数区间
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
b
>
2
{\displaystyle b>2}
[ 注 2]
此外，还有两个映射
Z
2
N
→
S
(
x
k
)
k
∈
N
↦
∑
k
≥
1
x
k
(
i
−
1
)
−
k
{\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &S\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}(\mathrm {i} -1)^{-k}\end{array}}}
和
Z
2
N
→
[
0
,
1
)
(
x
k
)
k
∈
N
↦
∑
k
≥
1
x
k
2
−
k
{\displaystyle {\begin{array}{lll}Z_{2}^{\mathbb {N} }&\to &[0,1)\\\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }&\mapsto &\sum _{k\geq 1}x_{k}2^{-k}\end{array}}}
两者皆满射 ，也就是产生了一个满射（空间填充）的映射
[
0
,
1
)
→
S
{\displaystyle [0,1)\qquad \to \qquad S}
然而，其并不连续，因此不是空间填充曲线。但是一个类似的曲线——戴维斯-高德纳龙（Davis-Knuth dragon），是连续的空间填充曲线。
^ 1.0 1.1 无限不循环小数
^ 不能取底数
b
=
2
{\displaystyle b=2}
2
−
1
=
0.1
bin
=
0.5
dec
{\displaystyle \textstyle 2^{-1}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}
∑
k
≥
2
2
−
k
=
0.0
1
¯
bin
=
0.1
bin
=
0.5
dec
{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}2^{-k}=0.0{\overline {1}}_{\text{bin}}=0.1_{\text{bin}}=0.5_{\text{dec}}}
(
i
−
1
)
−
1
=
−
0.1
bin
−
0.1
bin
i
=
−
0.5
dec
−
0.5
dec
i
{\displaystyle \textstyle (\mathrm {i} -1)^{-1}=-0.1_{\text{bin}}-0.1_{\text{bin}}\mathrm {i} =-0.5_{\text{dec}}-0.5_{\text{dec}}\mathrm {i} }
∑
k
≥
2
(
i
−
1
)
−
k
=
0.1
dec
+
0.3
dec
i
{\displaystyle \textstyle \sum _{k\geq 2}(\mathrm {i} -1)^{-k}=0.1_{\text{dec}}+0.3_{\text{dec}}\mathrm {i} }
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![{\displaystyle \mathbb {Z} [\mathrm {i} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f7e30b2083c5a1ffb637bd8c9ec111a486cd06)
![{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}}}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce5a43e3c8fb5fdabc8d12b6c20e560b8bb9f48)
![{\displaystyle [-{\tfrac {8}{15}},{\tfrac {2}{15}}]\times [-{\tfrac {4}{15}},{\tfrac {1}{15}}]\mathrm {i} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1169f246ca710e557a9ff51c42d43f199b1100f)
[math.DS].
