在数学里,实数系统可以透过不同方式被定义。其中,基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理,可以证明基本方法中给定的公理是绝对的,即是说如果有两个模型都符合那些公理,那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的,而多数的模型的建立都是借助于有理数域。
一个实数系统由一个集合
,
当中的两个不同元素 0 和 1 ,
上的两种二元运算
(分别叫做加法与乘法),以及
上的一个二元关系
(即序关系)构成。
而且这个模型符合以下性质:
是一个域。即
(加法与乘法的结合性)
(加法与乘法的交换性)
(乘法对加法有分配律)
(存在加法单位元)
(存在乘法单位元)
(存在加法逆元)
(存在乘法逆元)
是一个全序集。即
(自反性)
若
且
,则有
(反对称性)
若
且,
,则有
(传递性)
或
(完全关系性)
上的两个运算
均与序关系
相容。即
,若
则
(加法下保持次序)
,若
且
,则
(乘法下保持次序)
- 序关系
符合戴德金完备性: 若
的一个非空子集
有上界,那么
也有上确界。换言之,
- 若
是
的一个非空子集,而且
有上界,那么
有一上确界
,使得对
的任何上界
,均有 ![{\displaystyle u\leq v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4310c2f58dd7b31add0dbdeaf407bbe1e1a521)
有理数域
符合前三条公理,也就是说
是一个有序域(同时
还满足阿基米德性,所以
是一个阿基米德有序域),但
不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话,它们必然是同构的,所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。
附注:当我们说符合以上公理的两个模型:
和
是同构时,即是指存在一个保持运算和序的双射。
确切地说存在
满足
是一个双射
及
.
及 ![{\displaystyle f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcce2d1241c1a57ea331018878e236d246be5271)
当且仅当 ![{\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59aef2dbad48ba017d1894469f40717528e57dd)
另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供,只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念:一个称之为实数集的集合(记作
)、一个称之为序的二元关系(记作
)、一个称之为加法的二元运算(记作
)和常数
。
序相关公理
:
- 公理一:如果
成立,那么
不成立,即“
”为非对称关系。
- 公理二:如果
成立,那么存在
使得
与
同时成立,即“
”在实数集稠密。
- 公理三:“
”满足戴德金完备性,即对所有
,如果对所有
以及
均满足
,那么存在
使得对所有
以及
并且有
以及
,总有
与
成立。
加法相关公理
:
- 公理四:
。
- 公理五:对所有
与
,总存在
满足
。
- 公理六:如果
成立,那么
或
成立。
常数
相关公理
- 公理七:
;
- 公理八:
。
首先我们需要一个定义。设
是一个有理数列,如果对于任何正有理数
,存在一个正整数
使得对于所有的整数
,都有
,则称
为有理数的柯西序列。
有理数集
配备上度量
(即一般的绝对值)后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程,可以往度量空间加进新点,从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。
以下说明实数集
可定义为
对于度量
的完备化。(关于
在其他度量下的完备化,参见p进数。)
记
为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为:
![{\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173bae29827e8dfb355bf5df4258a71f495bfffd)
![{\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2b3319016daa61bb51b9f6215e9346d6bd5e88)
运算得到的序列依然会是柯西序列[1]。
称两个柯西序列是等价的,如果它们之间的差收敛到0。这样便在
上定义了一个等价关系。以
表示包含序列
的等价类。
设
为包含所有等价类的集合,然后也在
上定义加法和乘法:
![{\displaystyle [(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0726d60ae98310990dae3698a51eb1adb6ab4ee)
![{\displaystyle [(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b43fb9fc4a34c7035a1b4f13105448495b7cf3e)
同样地,这两个运算是良好定义的。
可以证明
是一个域。我们可以把
嵌入到
——只要把有理数
对应于
便可。
实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的:
称一个实数是正的,即
,当且仅当存在自然数
和正有理数
,使得对一切
有
。称
当且仅当
。
较难推导的是
的完备性,具体可以参考[1]。
常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列,比如说,
的记法意味着
是柯西序列
的等价类。等式
则断定了序列
和
是等价的,即它们之间的差收敛到
。
把
作为
的完备化有一个好处,那就是这种方法并不限于此例;对于其他度量空间也是适用的。
实数可定义为有理数集上的戴德金分割,即是有理数集的一个划分
,其中
都非空,而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见,不妨把划分
以其下组
来代表,因为给定了
就唯一确定了
。所以直观上,实数
能被
所代表。
具体而言,一个实数
是
的符合以下条件的一个子集:[2]
是非空集合
![{\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69ab70069c15e74db10ae13da3235fa27dbdac8)
是向下封闭的,即:![{\displaystyle \forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defaec0efd4eb7b7fbc5945cc5b9586aa4f8ce67)
没有最大元。也就是说,不存在
,使得对任何
有![{\displaystyle y\leq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de6a6e4f44d9dfcbfaadbdcf388d4b8a6fed109)
- 记
为所有实数的集合,也就是说它包含了所有
上的戴德金分割。然后在
上定义这样一个全序:![{\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f4f37413b587896d2f7406e2fb163a9850aadf)
- 有理数可以嵌入到
里,透过把
对应于集合
。[2] 因为有理数在有理数集内是稠密的,所以这个集合没有最大元,并满足上述的各条件。
- 加法:
[2]
- 减法:
,其中
代表
在
里的补集,即![{\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166f1b4ef654de75dd5c194b20deb7837e43e946)
- 负号是减法的特例:
![{\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4cb97d4846de4ee736d352ebf07bb2ce94749e)
- 乘法的定义较不直观:[2]
- 若
,那么![{\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24807ee10d9e6d8374df07e1a49cbc8ea2d917f)
- 若
和
中有一个是负的,可以透过
这定义式,把
,
转化为正数的情况,再采用上面的定义来计算。
- 类似地定义除法为:
- 若
,则![{\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be23430ebb1de221541a48d8a6a9786c1d4223f)
- 若
和
中有一个是负的,可以借助
的定义式,把
换成非负数,以及把
换成正数,再采用上面的定义来计算。
- 上确界:如果
的非空子集
有上界的话,那么可以证明
便是其上确界。[2]
以下示范如何以戴德金分割代表根号2:设
。[3]
首先,对于任何自乘小于2的正有理数
,都存在一个大于x的有理数
,而且有
。选择
便可。所以我们证明了
是一个实数。
要证明
成立,只需指出如果
是小于2的有理数,那么存在正的
,且
。
这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。
西蒙·斯蒂文[4] 首先提出了以小数来代表一切数(即现今的实数)的想法。具体地,可以将无限小数展开式作为实数的定义,然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的,再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的,而且它还给出了明确的收敛模。这种方法不限于十进制,其他的进位制也是适用的。
用小数来构造的好处是,这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是,说明任意模型都同构于这个模型,因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。
首先,透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界(或者说有限)元素所组成的环B。 B 有着唯一的极大理想 I,即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域
。 注意B 并不是*Q的一个内在集合。
此外,这种构造在自然数集上使用了非主超滤子,而其存在性是依赖于选择公理的。
这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。
每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域(意味着没有实数是无穷大量)。这种嵌入方式并不是唯一的,尽管有标准的一种方式。
一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。[5][6][7] 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。[8] Shenitzer[9]和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。
设
为一函数,若然
是有限集,则称f为殆同态。称两个殆同态
是 几乎相等的,如果集合
是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类,可简单记为[f]。实数的加法,对应于殆同态的加法运算;实数的乘法,则对应于殆同态的复合运算。最后,称
,若
是有界的,或者
在
上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。