使用者:AnthonyDonlon/wip/多重對數函數

在數學中，多重對數函數（英語：polylogarithm，也稱為 Jonquière 函數）是一類有着階數 s 和參數 z 的特殊函數Li_s(z)。只有當 s 為特殊值時，多重對數函數才退化為初等函數（如自然對數或有理函數）。在量子統計中，多重對數函數可作為費米–狄拉克分布和玻色–愛因斯坦分布的積分的閉式解，也因此被稱為費米–狄拉克積分或玻色–愛因斯坦積分。在量子電動力學中，正整數階的多重對數函數出現的計算程序表示高階費曼圖。

多重對數函數與赫爾維茨ζ函數等價，二者可以相互表示，且都是勒奇超越函數的特例。多重對數函數不應與多對數函數或對數積分混淆，儘管它們有相似的記號，但後者只有一個變量。

• 複平面中不同的多重對數函數
• 
  Li₋₃(z)
• 
  Li₋₂(z)
• 
  Li₋₁(z)
• 
  Li₀(z)
• 
  Li₁(z)
• 
  Li₂(z)
• 
  Li₃(z)

多重對數函數由關於 z 的冪級數定義，這個級數也是關於 s 的狄利克雷級數：

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots$

在階數 s 為任意複數且複數參數 |z| < 1 時，這個定義有效。但這個式子也可被解析延拓至 |z| ≥ 1 上。在s = 1 的特殊情況下，多重對數函數將與自然對數有關，Li₁(z) = -ln(1-z)，而在特殊情況 s = 2 和 s = 3 時，多重對數函數則變為二重對數函數（也稱為斯盆司函數）和三重對數函數。雙重對數函數的名稱來自於它能被定義為它自身的積分這一性質：

$\operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt$

這樣，二重對數函數(s = 2)就是與對數有關的函數的積分，依此類推。對於非正的整數階數s，多重對數函數是一個有理函數。

屬性

在多重對數函數階的階數$s$是一個整數時，$s$可由$n$表示（或$-n$，當其為負數時）。通常，可以定義$\mu =\ln(z)$為複數對數$\operatorname {Ln} (z)$的主支以便於使用，這樣一來就有$-\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi$。此外，所有指數都將被認定是單值的：$z^{s}=\exp(s\ln(z)).$

在不同的階數$s$下，多重對數函數可能是多值的。$\operatorname {Li} _{s}(z)$的主支被認為是為了$|z|<1$根據上述系列定義，除在正實軸上切割成$z=1$至$\infty$以便將軸放置在$z$。就......而言$\mu$，這等於$-\pi <\operatorname {arg} (-\mu )\leq \pi$。多重對數函數的不連續性取決於$\mu$有時會令人困惑。

對於實的參數$\displaystyle z$，在當$\displaystyle z<1$時，實數階$s$的多重對數函數的函數值也是實數。而當$z\geq 1$時，其虛部是（Wood 1992，§ 3）:

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.$

越過邊界，如果ε是一個無限小的正實數，那麼：

$\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}.$

而者都可以從 Li_s(e^µ)在 µ = 0 處的級數展開（見下文）得出。

多重對數函數的導數來自定義的冪級數：

$z{\partial \operatorname {Li} _{s}(z) \over \partial z}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)$

${\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu }) \over \partial \mu }=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).$

從級數定義中可以看出平方關係，並且與複製公式有關（參見Clunie (1954)，Schrödinger (1952)）：

$\operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).$

Kummer函數遵循非常相似的複製公式。對於任何正整數p，這是乘法公式的一個特殊情況：

$\sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),$

這可以通過使用多重對數函數的級數定義和指數項的正交性來證明（例如，參見離散傅里葉變換）。

多重對數函數另一個重要的屬性，即反演公式，涉及赫爾維茨ζ函數和伯努利多項式，可以在下方與其他函數的關係中找到。

特殊值

在特殊情況下，多重對數函數可用其他函數表示（見下文）。因此多重對數函數的一些特殊值也可用這些函數的特殊值表示。

1. 對於整數階的多重對數函數，將z·z/∂z算子反覆應用於Li₁(z)，即可得到以下的表達式：

$\operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)$

$\operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}$

$\operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}$

$\operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}$

$\operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}$

$\operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.$

因此，對於所有非正整數階，多重對數函數將退化為關於z的有理分式，因此是關於 z 的有理函數。一般地，可以用有限和來表示：

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),$

其中S(n,k)是第二類斯特林數。適用於負整數階的等效的公式為 （Wood 1992）：

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),$

或

$\operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),$

其中$\scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle$是歐拉數。Li_−n(z)的所有根都是互不相同的實數，並包含z = 0，而其餘根為負，並且在對數刻度上以z = -1為中心。隨着n變大，對這些有理表達式的數值評估越來越遭受抵消（Wood 1992，§ 6） ；但是，可以通過與Hurwitz zeta函數的一般關係計算Li_-n(z)來獲得完全精度（見下文）。

2. 參數z取半整數值時，有：

$\operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2$

$\operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}$

$\operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),$

其中ζ是黎曼ζ函數。對於更高整數階，沒有這種類型的公式是已知的（Lewin 1991，p.2），但是有一個例子 （Borwein，Borwein & Girgensohn 1995）：

$\operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),$

其中涉及m和n的二階交錯求和：

$\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.$

一般地，對於 n ≥ 2 的整數階數 （Broadhurst 1996）：

$\operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),$

其中ζ(s₁,...,s_k)是多ζ函數。比如當 n = 5 時：

$\operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).$

3. 作為級數定義的直接推論，多重對數函數在第 p 個復單位根處的值可由如下傅立葉和給出：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),$

其中 ζ 是赫爾維茨ζ函數。對於 Re(s) > 1，其中Li _s（1）是有限的，該關係在m = 0或m = p時也成立。儘管此公式並不像下文與其他函數的關係中列出的與Hurwitz zeta函數的更一般的關系所暗示的那樣簡單，但它的優點是也適用於s的非負整數值。與往常一樣，該關係可以被反轉來表達ζ（S，M / _P）為任何M = 1，...，P如Li _s的傅立葉總和（EXP（2πiK / _P））超過K = 1，...，p。

與其他函數的關係

• 當 z = 1 時，多重對數函數退化為黎曼ζ函數

$\operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).$

• 多重對數函數與狄利克雷η函數和狄利克雷β函數有聯繫：

$\operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),$

其中η(s)是狄利克雷η函數。對於純虛數的參數，有：

$\operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),$

其中β(s)是狄利克雷β函數。

• 多重對數函數與完全費米-狄拉克積分有關：

$F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).$

• 多重對數函數是不完全多重對數函數的特例：

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).$

• 多重對數函數是勒奇超越函數一種特殊情況（Erdélyi et al. 1981，§ 1.11-14）

$\operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),$

• 多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的關係如下：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],$

但是，哪個關係在伽馬函數 Γ（1- s）的極點處在正整數s處無效，而在兩個zeta函數的極點處的s = 0處無效。下面的系列表示式給出了該公式的推導。在Hurwitz zeta函數的函數方程的一點幫助下，多重對數函數也因此通過（Jonquière 1889） 與該函數相關：

$i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={(2\pi )^{s} \over \Gamma (s)}\zeta (1-s,x),$

其關係式適用於0≤的Re（X）<1，如果IM（X）≥0，和0 <的Re（X）≤1，如果IM（X）<0。 等效地，對於所有的複雜的S和複雜Ž∉] 0; 1]時，反演公式讀取

$\operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),$

對於所有的複數 s 和複數 z ∉ ]1;∞[

$\operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).$

對於z∉] 0;∞[之一具有LN（- Z）= -ln（- ¹ / _Z），和兩個表達式同意。這些關係使多重對數函數的解析連續性超出了收斂圈。z | =定義的冪級數的1。（如果人們假設同時使用多重對數函數和對數的主分支，則Jonquière (1889) 和Erdélyi et al. (1981) 的相應方程式是不正確的。）如果s是整數，請參見下一項以獲取簡化公式。

• 對於正整數階數s，赫爾維茨ζ函數 ζ(1-s,x) 簡化為伯努利多項式，ζ(1-n,x) = -B_n(x)/n，而 n = 1, 2, 3, ...時的Jonquière反演公式則變為：

$\operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),$

其中再次0≤的Re（X）<1，如果IM（X）≥0，和0 <的Re（X）≤1，如果IM（X）<0。 將多重對數函數參數限制為單位圓Im（x）= 0時，如果n為偶數，則該公式的左側簡化為2 Re（Li _n（e ^{2 ixix}）），並簡化為2 i Im（Li如果n為奇數，^則為 _n（e ^2πix）。對於負整數的訂單，在另一方面，Γ（多個）的發散意味着所有的Z那（Erdélyi et al. 1981）

$\operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).$

更一般地，對於 n ＝ 0, ±1, ±2, ±3, ...，有：

$\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\qquad (z\not \in ]0;1]),$

$\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)\qquad (z\not \in ~]1;\infty [),$

其中兩個表達式同意針對z∉] 0;∞[。（Jonquière (1889) 和Erdélyi et al. (1981) 的相應方程式也不正確。）

• 具有純虛數μ的多重對數函數可以用克勞森函數 Ci_s(θ)和Si_s(θ)表示，反之亦然（Lewin 1958 Abramowitz & Stegun 1972 ； Abramowitz & Stegun 1972）：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).$

• 反正切積分 Ti_s(z) （Lewin 1958） 可以用多重對數函數表示：

$\operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].$

該關係特別暗示：

$\operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,$

這說明了這個函數的名稱

• 勒讓德χ函數 χ_sz（Lewin 1958 Boersma & Dempsey 1992）可以用多重對數函數表示：

$\chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].$

• 整數階的多重對數函數可以用廣義超幾何函數表示：

$\operatorname {Li} _{n}(z)=z_{n+1}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)\qquad (n=0,1,2,\ldots ),$

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=z_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )~.$

• 不完全黎曼ζ函數「德拜函數」而言（（Abramowitz & Stegun 1972））：

$Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),$

正整數階的多重對數函數Li_n(z)可用有限和表示（Wood 1992）:

$\operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).$

一個非常相似的表達式將「德拜函數」Z_n(z) 與多重對數函數聯繫在了一起：

$Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).$

積分表示

以下任何一個積分表示形式都可以使多重對數函數的解析連續性超出收斂圓| z | =定義的冪級數的1。

1 可以使用玻色–愛因斯坦分布的積分表示多重對數函數：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.$

當 Re(s) > 0 且 z 非 z ≥ 1 的實數時，上式收斂。在這種情況下，多重對數函數有時會被稱為玻色積分，但更常被稱為玻色–愛因斯坦積分。類似地，多重對數函數也可以用費米-狄拉克分布的積分表示：

$-\operatorname {Li} _{s}(-z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.$

當 Re(s) > 0 且 z 非 z ≤ -1 的實數時，上式收斂。在這種情況下，多重對數函數有時也被稱為費米積分或費米-狄拉克積分（GSL 2010）。這些表示可以容易地通過被擊函數關於z的泰勒級數的逐項積分進行驗證。Dingle 的論文包含對兩種類型積分的詳細研究。

多重對數函數還與麥克斯韋-玻爾茲曼分布的積分有關：

$\lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.$

這也給出了多重對數函數在原點附近的漸近性質。

2. complementary integral表示適用於 Re(s) < 0 和所有除了非 z ≥ 0 的實數：

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.$

該積分來自多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的一般關係（請參見上文）和後者的常見積分表示。

3. 多重對數函數通常可以由漢克輪廓積分表示（Whittaker & Watson 1927，§ 12.22, § 13.13），該方程將Bose-Einstein表示擴展到負階s。只要被整數的t = μ 極不位於非負實軸上，並且s ≠1、2、3，...，就有：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt$

其中H代表漢克爾輪廓。被積物沿實軸具有從零到無窮大的切口，該軸屬於t的下半平面。積分從上半平面的+∞開始（Im（t）>   0），繞圈原點而不包圍任何極點t = µ + 2kπi，並在下半平面（Im（t）<   0）。對於µ為實數且為非負數的情況，我們可以簡單地減去封閉的t = µ極點的貢獻：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR$

其中R是極點的殘基 ：

$R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.$

4. 當將Abel–Plana公式應用於多重對數函數的定義級數時，將生成夏爾·埃爾米特型積分表示形式，該表示形式對於所有複數z和所有複數s有效 ：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt$

其中Γ是上不完全Γ函數。此表達式中的全部（但不是全部）ln(z)都可以替換為-ln（¹ ⁄ _z）。一個相關的表示形式，對於所有s，

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,$

避免使用不完全伽瑪功能，但針對z這個積分失敗。如果再（S）正實軸≤   0。該表達式可通過將 2^s Li_s(−z) / (−z) 改寫為 Φ(z², s, ¹⁄₂) − z Φ(z², s, 1) 得到，其中 Φ 是勒奇超越函數，將 Abel–Plana 公式應用於第一個 Φ 的級數，並使用一個包含第二個Φ系列的1 /（e ^2πt +1）代替1 /（e ^2πt− 1）的互補公式。

5， 如在引用的我們可以通過積分普通表達的組成為多重對數函數幾何級數逐項為$s\in \mathbb {N}$如

$\operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.$

級數表示

1. 如上文積分表示中所指出的，可以通過漢克等高線積分的方式將多重對數函數的玻色–愛因斯坦積分表示擴展到負階s：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,$

其中H是漢克爾等高線，s ≠1，2，3，...，並且被積物的t = μ極不位於非負實軸上。所述輪廓可以這樣進行修飾，它包圍所述磁極在t被積函數- μ= 2kπi，積分可以被評估為的總和殘基（Wood 1992 Gradshteyn & Ryzhik 1980）：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.$

這對Re(s) < 0和除了e^μ = 1 的μ成立。當0 < Im(µ) ≤ 2π 時，該和式可被拆分為：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],$

兩個級數可以用赫爾維茨ζ函數表示：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).$

該關係已經根據在上文其他函數的關係中給出，對所有滿足 s ≠ 0, 1, 2, 3, ... 的複數s都成立，並首先在（Jonquière 1889）被推導。

2. 為了將多重對數函數表示為μ = 0的冪級數，我們將從漢克輪廓積分導出的級數寫為：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].$

當和中的二項式冪展開約µ = 0且求和的順序相反時，h上的和可以用封閉形式表示：

$\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.$

此結果適用於| µ | <2π，並且由於由所提供的解析開拓zeta函數，對於所有s≠1，2，3，。。。。如果階數為正整數s = n，則k = n − 1的項和伽馬函數都變為無窮大，儘管它們的總和不是。一個獲得（Wood 1992  ; Gradshteyn & Ryzhik 1980）：

$\lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],$

如果k = 0，則h上的總和消失。因此，對於正整數階和μ | <2π，我們有系列：

$\operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},$

其中H_n表示第n個諧波數 ：

$H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.$

問題術語現在包含-ln（- μ），當由μn倍^-1，將趨 向於零，μ→0，除了n = 1 的。這反映了一個事實，即Li _s (z)在s = 1和z = 1時表現出對數奇異性，因為：

$\lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).$

對於接近但不等於正整數的s，可以期望展開在µ = 0處的發散項會導致計算困難（Wood 1992）。ERDELYI的相應的擴展（Erdélyi et al. 1981） 在LN（z）的權力是不正確的，如果一個假定多重對數函數和對數的主要分支被同時使用，因為^LN（1 / _z）為不均勻等於-ln(z)。

對於s的非正整數值，展開約µ = 0時的zeta函數ζ(s- k）減小為伯努利數 ：ζ（-n - k）= -B _{1+ n + k} /（1 + n + k）。通過該系列進行的Li _{- n} (z)的數值評估不會受到抵消效應的影響，在上述特定值下給出的有限有理表達式對於n較大。

3. 通過使用單位元

$1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),$

多重對數函數的 Bose-Einstein 積分表示形式（見上文）可以轉換為以下形式：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).$

將雙曲餘切項展開為雙邊級數，

$\coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},$

然後反轉積分和的順序，最後用上不完全Γ函數的積分表示來識別被加數，可以得到：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.$

對於該結果的雙側級數和雙曲餘切線，從-k _max到k _max的對稱部分和無條件地收斂為k _max →∞。如果求和是對稱進行的，那麼對於Li _s (z)的該級數對所有複數s和所有複數z都成立。

4。 可以將第二種斯特林數的顯式引入非正整數階多重對數函數的有限和中（見上文），可以這樣寫：

$\operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).$

通過簡單地將外部求和擴展為∞而獲得的無窮級數（Guillera & Sondow 2008） ：

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},$

原來收斂到多重對數函數的所有複雜的S和用於與的Re（z）的複雜^_Ž<1/2，由於可以驗證為| ^{− z} ⁄ _{（1− z）} | < ^{_二分之一}通過反轉求和並使用的順序：

$\sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.$

這些序列的內係數可以由涉及廣義諧波數的 斯特林數相關公式表示。例如，請參見生成函數轉換以查找以下身份的證明（對證明的引用）：

${\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}$

對於隨Re（z）的其他參數^_<1/2中的結果通過如下解析開拓。此過程等效於將Euler變換應用於z中定義多重對數函數的序列。

漸近展開

對於 |z| ≫ 1，可以根據ln(−z)將多重對數函數展開為漸近級數 ：

$\operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},$

$\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},$

其中 B_2k 是伯努利數。兩個式子對於所有s和任何arg(z)都成立。像往常一樣，當項的大小開始增長時，應終止求和。對於負整數s，展開完全消失；對於非負整數s，它們在有限數量的項之後分解。Wood (1992) 描述了一種用於從玻色-愛因斯坦積分表示獲得這些系列的方法（他的方程11.2栗_{'^S（Ëμ）'}要求'-2π<IM（μ）≤0）。'

極限性質

以下極限可以由多重對數函數的各種表示形式推導得到（Wood 1992）：

$\lim _{|z|\to 0}\operatorname {Li} _{s}(z)=z$

$\lim _{|\mu |\to 0}\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)$

$\lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )$

$\lim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }\operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })=-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )$

$\lim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }\operatorname {Li} _{s}(z)=z$

$\lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )$

$\lim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)$

Wood 關於的 Re(µ)→∞的第一極限已根據他的方程11.3進行了校正。Re(s)→-∞的極限來自於多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的一般關係（參見上文）。

二重對數函數

主條目：二重對數函數

二重對數函數是階數 s = 2 的多重對數函數。對任意複數參數z，二重對數函數也可用積分表達式表示（Abramowitz & Stegun 1972） §27.7 ：

$\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.$

造成混淆的一個原因是某些計算機代數系統將對數定義為dilog(z)= Li ₂（1- z）。

在re(z)≥1情況下為二重對數函數的第一個積分式可寫成

$\operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z$

將ln（t -1）展開，並逐項積分，我們得到

$\operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).$

二重對數函數的阿貝爾恆等式由（Abel 1881） 給出

$\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)$

$(\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).$

這立即看到擱置要麼X = 0或y = 0，而對於一般的參數，然後很容易地分化'∂/∂X∂/∂ÿ'驗證。對於y = 1- x，恆等式簡化為歐拉 反射公式

$\operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),$

其中，Li 2（1）=ζ（2）= 1/6的 π2已被使用，並且x可以採取任何複數值。

根據新變量u = x /（1- y），v = y /（1- x），Abel身份讀取

$\operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),$

對應於（Rogers 1907） 給出的五邊形標識。

根據x = y = 1- z的Abel身份和平方關係，我們得到Landen的身份

$\operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),$

並將反射公式應用於每個對數，我們找到反演公式

$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),$

和真正的z ≥ 1 還

$\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.$

下表中收集了特殊參數對數的已知封閉式評估。在第一列中的參數由反射相關X↔1- x或反轉^X↔1 / _x至任一X = 0或X = -1;這些操作將第三列中的參數相互關聯。

Maximon (2003) discusses the 17th to 19th century references. The reflection formula was already published by Landen in 1760, prior to its appearance in a 1768 book by Euler （Maximon 2003）; an equivalent to Abel's identity was already published by Spence in 1809, before Abel wrote his manuscript in 1826 （Zagier 1989）. The designation bilogarithmische Function was introduced by Carl Johan Danielsson Hill (professor in Lund, Sweden) in 1828 （Maximon 2003）.  （1989） has remarked that the dilogarithm is the only mathematical function possessing a sense of humor.

二重對數函數的特殊值

$x$	$\operatorname {Li} _{2}(x)$	$x$	$\operatorname {Li} _{2}(x)$
$-1$	$-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}$	$-\phi$	$-{\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi$
$0$	$0$	$-1/\phi$	$-{\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}\phi$
${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}2$	$1/\phi ^{2}$	${\tfrac {1}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi$
$1$	${\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}$	$1/\phi$	${\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\phi$
$2$	${\tfrac {1}{4}}\pi ^{2}-\pi i\ln 2$	$\phi$	${\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\ln ^{2}(-1/\phi )$
		$\phi ^{2}$	$-{\tfrac {11}{15}}\pi ^{2}-\ln ^{2}(-\phi )$

這裡的 $\phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ 表示黃金比例.

多重對數函數階梯

倫納德·萊文（Leonard Lewin）在特殊值的多重對數上發現了許多經典關係的顯着而廣泛的概括。這些現在稱為多重對數函數階梯。定義$\rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)$作為黃金比例的倒數。然後是對數階梯的兩個簡單示例

$\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}$

這由 Coxeter （1935）給出，和

$\operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho$

由蘭登給出。多重對數函數梯子自然而深地出現在K理論和代數幾何中。多重對數函數階梯為通過BBP算法快速計算各種數學常數提供了基礎（Bailey，Borwein & Plouffe 1997）。

單值性

多重對數函數有兩個分支點，它們分別位於 z = 1 和 z = 0 處。z = 0 處的第二個分支點在多重對數函數的主表上不可見；僅當該功能在分析上繼續到其其他圖紙時，它才可見。多重對數函數的單峰組由圍繞兩個分支點纏繞的同型類循環組成。用m ₀和m ₁表示這兩個，單峰組具有組表示

$\langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .$

對於二重對數函數的特殊情況，也有wm ₀ = m ₀ w，單峰組成為Heisenberg組（用x，y，z標識m ₀，m ₁和w）（Vepstas 2008）。

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外部連結

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