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運算

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數學中,一個 運算 被定義為一個將一個或更多個輸入值(或稱 「運算數」 或 「參數」)對應到一個兩定義的輸出值的函數。這些運算數的個數被稱為該運算的元數

研究中最常見的運算是二元運算(也就是元數為 2 的運算)如加法乘法,還有一元運算(也就是元數為 1 的運算)如加法逆乘法逆。而一個操作數為零的運算,或者說一個零元運算英語nullary operation,是一個常數,這種運算在計算機科學中比較常見一些。[1][2]混合積是一個三元運算英語ternary_operation的例子。

通常而言一個運算的輸入值是有限的,但有時也應當考慮無窮元運算英語finitary operations[1],這時,「通常的」輸入值有限的運算就被歸類為有限元運算了。

運算的類型

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有兩類常見的運算,一元二元運算。其中,一元運算僅涉及一個輸入值,比如邏輯非或者三角函數等。[3]而對於以以及為例的二元運算,則需要兩個輸入值[4]

除卻數字,運算也允許涉及其他數學對象。比如邏輯真值 「真」 和 「假」 就可以通過 「與」、「或」、「非」 這些邏輯運算符連接並參與運算,其中 「與」 和 「或」 為二元運算,而「非」為一元運算;向量可以進行加減;[5] 轉動可以通過函數複合進行運算,運算結果是先進行前一個旋轉,接着進行後一個旋轉的複合旋轉。集合上的運算包括二元的運算[6][7][8]函數之間的運算有函數複合卷積[9][10]

作為一個函數,運算並不總對其上的所有元定義良好。例如實數上對零做除法[11]或者對負數開平方根就是不被允許的。所有能被運算的值構成一集合,記為該運算的定義域。對於整個定義域上的值,包含該運算作為函數導出的所有值的集合稱作該運算的上域,而所有導出值本身構成的集合,稱運算的或者值域[12]。例如前文所述的實數平方根,其定義域即 ,值域也是 ,上域則是任意一個含有值域的集,此處可以為 ;而實數的除法運算,定義域為 ,值域為

此外,多元的運算可以涉及並不相似的元素:向量能夠與純量進行數乘運算並得到另一個向量[13];兩個向量可以進行內積運算並最後得到一個純量[14][15]。一個運算有時也會被賦予一些額外屬性如結合律交換律反交換律冪等等。

這些參與運算的值被稱作 「參數」 或 「輸入」,而得到的值被稱作 「值」、「結果」 或 「輸出」。運算的元數可以是從 2 到 之間的任何整值[1]

算符 與運算近似,指的是運算所使用的符號和過程,因而二者並不完全等同。「加法運算」常側重於輸入和輸出兩端,而「加法算符」(粗略而言,「加號」)則更聚焦於過程,以一種更形式化的說法,即映射

定義

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一個從 元運算 被認定為映射

其中,集合 稱作運算的域,稱作運算的上域,非負整數 稱作運算的元數。特別地,零元運算僅是上域 上的一個單一元素。值得指出,元運算完全允許視作 關係,該關係對運算的域為全域的,對運算的上域則是唯一的。

一個從 元部分運算,其上域為 的任意子集。

以上敘述常稱作 有限關係,參數有限。顯然存在擴張,將元數認定為一個無窮序數或者無窮基數,甚至是以任意集作為參數的指標集。

通常情況下,使用」運算「這個詞暗含了域是上域的冪這個條件(即上域和自身的一個或更多副本的笛卡兒積[16],這一性質並不絕對,就像內積運算,並不符合該描述:將兩個向量點乘,結果是一個純量。一個 元運算 被稱作內部運算;一個 元運算 ,其中,被稱作由純量集或者算子集 構造的 外部運算。特別地,二元運算 稱作由 決定的 左外部運算,相應地 稱作由 決定的 右外部運算

一個 元多值函數 或者 多值運算 是一個從其笛卡兒積到其冪集的形如 的映射[17]

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2019-12-10]. 
  2. ^ DeMeo, William. Universal Algebra Notes (PDF). math.hawaii.edu. August 26, 2010 [2019-12-09]. (原始內容 (PDF)存檔於2021-05-19). 
  3. ^ 埃里克·韋斯坦因. Unary Operation. MathWorld. 
  4. ^ 埃里克·韋斯坦因. Binary Operation. MathWorld. 
  5. ^ 埃里克·韋斯坦因. Vector. MathWorld.  」向量能被加到一起(向量加法)、相減(向量減法)……「
  6. ^ Weisstein, Eric W. Union. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  7. ^ Weisstein, Eric W. Intersection. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  8. ^ Weisstein, Eric W. Complementation. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. Composition. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. Convolution. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  11. ^ Weisstein, Eric W. Division by Zero. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  12. ^ 埃里克·韋斯坦因. Coomain. MathWorld. 
  13. ^ Weisstein, Eric W. Scalar Multiplication. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  14. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. Functional Analysis. New Age International. 1995. ISBN 978-81-224-0801-0 (英語). 
  15. ^ Weisstein, Eric W. Inner Product. mathworld.wolfram.com. [2020-07-27] (英語). 
  16. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. Chapter II, Definition 1.1. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. 
  17. ^ Brunner, J.; Drescher, Th.; Pöschel, R.; Seidel, H. Power algebras: clones and relations (PDF). EIK (Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik). Jan 1993, 29: 293–302 [2022-10-25].