量子數

量子數描述量子系統中動力學上各守恆數的值。它們通常按性質描述原子中電子的各能量，但也會描述其他物理量（如角動量、自旋等）。由於任何量子系統都能有一個或以上的量子數，列出所有可能的量子數是件沒有意義的工作，學習量子數與軌域也是。

有多少個量子數？

「要多少個量子數才能描述任何已知系統？」這道問題並沒有一致的答案，儘管要解決每一個系統都必須要對系統進行全面分析。任何系統的動力學都由一量子哈密頓算符，H，所描述。系統中有一量子數對應能量，即哈密頓算符的特徵值。對每一個算符O而言，還有一個量子數可與哈密頓算符交換（即滿足OH = HO這條關係式）。這些是一個系統中所能有的所有量子數。注意定義量子數的算符O應互相獨立。很多時候，能有好幾種選擇一組互相獨立算符的方法。故此，在不同的條件下，可使用不同的量子數組來描述同一個系統。

原子內的單個電子

最被廣為研究的量子數組是用於一原子的單個電子：不只是因為它在化學中有用（它是週期表、化合價及其他一系列特性的基本概念），還因為它是一個可解的真實問題，故廣為教科書所採用。

在非相對論性量子力學中，這個系統的哈密頓算符由電子的動能及位能（由電子及原子核間的庫侖力所產生）。動能可被分成，有環繞原子核的電子角動量，J的一份，及餘下的一份。由於位能是球狀對稱的關係，其完整的哈密頓算符能與J²交換。而J²本身能與角動量的任一分量（按慣例使用J_z）交換。由於這是本題中唯一的一組可交換算符，所以會有三個量子數。

依慣例，它們被稱為：

主量子數（ $n=1,2,3,4...$ ，即電子軌域 $K,L,M,N$ ）代表除掉J²以後H的特徵值。這個數因此會視電子與原子核間的距離（即半徑座標r）而定。平均距離會隨着n增大，因此不同量子數的量子態會被說成屬於不同的電子層。
角量子數（ $\ell =0,1,2...n-1$ ，又稱方位角量子數或軌道量子數）通過關係式 $L^{2}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$ 來代表軌道角動量。在化學中，這個量子數是非常重要的，因為它表明了一軌道的形狀，並對化學鍵及鍵角有重大影響。有些時候，不同角量子數的軌域有不同代號， $\ell =0$ 的軌域叫s軌域， $\ell =1$ 的叫p軌域， $\ell =2$ 的叫d軌域，而 $\ell =3$ 的則叫f軌域。
磁量子數（ $m_{\ell }=-\ell ...0,1,2...(\ell -1),\ell$ ）代表特徵值， $L_{z}=m_{\ell }\hbar$ ^[1]。這是軌道角動量沿某指定軸的投影。

從光譜學中所得的結果指出一個軌道最多可容納兩個電子。然而兩個電子絕不能擁有完全相同的量子態（鮑利不相容原理），故也絕不能擁有同一組量子數。所以為此特別提出一個假設來解決這問題，就是設存在一個有兩個可能值的第四個量子數。這假設以後能被相對論性量子力學所解釋。

自旋量子數（ $m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}$ ）代表電子的固有角動量。這是自旋 $s={\frac {1}{2}}$ 沿某指定軸的射影。

作為摘要，一電子的量子態視下列各量子數而定：

名稱	符號	軌道意義	取值範圍	取值例子
主量子數	$n\$	殼層	$1\leq n\,\!$	$n=1,2,3...\,\!$
角量子數（角動量）	$\ell \$	次殼層	$0\leq \ell \leq n-1\$	若 $n=3\,\!$ : $\ell =0,1,2\,(s,p,d)\$
磁量子數（角動量之射影）	$m_{\ell }\$	能移	$-\ell \leq m_{\ell }\leq \ell \$	若 $\ell =2\$ : $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2\,\!$
自旋量子數	$m_{s}\,\!$	自旋	$-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\$	只能是 $-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\$

例：用於描述氟（ ${\ce {F}}$ ）原子最外層電子（即價電子，位於原子軌道2p）的各量子數值為： $n=2$ ， $\ell =1$ ， $m_{\ell }=-1,0,1$ ， $m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}$ 。

簡而言之，以上的物理量需要滿足 $n>\ell \geq |m_{\ell }|$ 且 $m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}$ 。

注意分子軌道需要使用完全不同的量子數組，因為其哈密頓算符及對稱跟上述相當不同。

適用於自旋－軌道相互作用的量子數

當考慮到自旋-軌道作用時，l、m及s就再不能與哈密頓算符交換，因而它們的值會隨時間改變。故應該使用另一組量子數。這組包括了

總角動量量子數（j=1/2，3/2 … n-1/2）通過關係式 $J^{2}=\hbar ^{2}j(j+1)$ 代表着總角動量。
總角動量沿某指定軸的投影（m_j=-j，-j+1 … j-1，j），此數與m類似，且滿足關係式 $m_{j}=m_{l}+m_{s}$ 。
宇稱。它是經反射所得的特徵值，當態之l為偶數時其值為正（即+1），奇數時其值為負（即-1）。前者亦被稱為偶宇稱，後者則為奇宇稱。

例：考慮以下八個態，定義它們的量子數：

l = 1，m_l = 1，m_s = +1/2
l = 1，m_l = 1，m_s = -1/2
l = 1，m_l = 0，m_s = +1/2
l = 1，m_l = 0，m_s = -1/2
l = 1，m_l = -1，m_s = +1/2
l = 1，m_l = -1，m_s = -1/2
l = 0，m_l = 0，m_s = +1/2
l = 0，m_l = 0，m_s = -1/2

系統的量子態能被這八個態的線性組合所描述。但由於自旋-軌道作用的關係，如欲使用八個由哈密頓算符的特徵向量（即每一個代表一個態且不會因時間而跟其他態混合）所組成的態來描述同一個系統，應考慮以下這八個態：

j = 3/2， m_j = 3/2，奇宇稱（從上態1得）
j = 3/2， m_j = 1/2，奇宇稱（從上態2及3得）
j = 3/2， m_j = -1/2，奇宇稱（從上態4及5得）
j = 3/2， m_j = -3/2，奇宇稱（從上態6得）
j = 1/2， m_j = 1/2，奇宇稱（從上態2及3得）
j = 1/2， m_j = -1/2，奇宇稱（從上態4及5得）
j = 1/2， m_j = 1/2，偶宇稱（從上態7得）
j = 1/2， m_j = -1/2，偶宇稱（從上態8得）

基本粒子

基本粒子包含不少量子數，一般來說它們都是粒子本身的。但需要明白的是，基本粒子是粒子物理學上標準模型的量子態，所以這些粒子量子數間的關係跟模型的哈密頓算符一樣，就像玻爾原子量子數及其哈密頓算符的關係那樣。亦即是說，每一個量子數代表問題的一個對稱性。這在場論中有着更大的用處，被用於識別時空及內對稱。

一般跟時空對稱有關係的量子數有自旋（跟旋轉對稱有關）、宇稱、C-宇稱、T-宇稱（跟時空上的龐加萊對稱有關係）。一般的內對稱有輕子數、重子數及電荷數。條目味有這些量子數的更詳細列表。

值得一提的是較次要但常被混淆的一點。大部分守恆量子數都是可相加的。故此，在一基本粒子反應中，反應前後的量子數總和應相等。然而，某些量子數（一般被稱為宇稱）是可相乘的；即它們的積是守恆的。所以可相乘的量子數都屬於一種對稱（像守恆那樣），而在這種對稱中使用兩次對稱變換式跟沒用過是一樣的。它們都屬於一個叫Z₂的抽象群。

參考連結

^ Arthur Beiser, Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. 麥格羅-希爾集團. 2015: 第229頁. ISBN 9789814595261.

基本原理

Dirac, Paul A.M. Principles of quantum mechanics. Oxford University Press. 1982. ISBN 0-19-852011-5.

原子物理

量子數與電子排佈（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）
氫原子的量子數（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）

粒子物理

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.
Halzen, Francis and Martin, Alan D. QUARKS AND LEPTONS: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.
粒子數據小組（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）

[1] Arthur Beiser, Kok Wai Cheah. Concepts of modern physics. 麥格羅-希爾集團. 2015: 第229頁. ISBN 9789814595261.

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