數學 的分支範疇論 中,單子 (英語:monad ),又稱三元組(triple, triad )、標準構造(standard construction )、基本構造(fundamental construction )[ 1] ,是一個內函子 (即由某範疇 映到自身的函子 ),連同滿足特定連貫條件 的兩個自然變換 ,三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對 ,並將偏序集 上的閉包算子 推廣到任意範疇。
單子是一類內函子 (連同其他資訊)。例如,若
F
{\displaystyle F}
和
G
{\displaystyle G}
為一對伴隨函子 ,
F
{\displaystyle F}
為
G
{\displaystyle G}
的左伴隨,則複合
G
∘
F
{\displaystyle G\circ F}
是單子。若
F
{\displaystyle F}
與
G
{\displaystyle G}
互為逆函子,則對應的單子是恆等函子 。一般而言,伴隨關係並不等同範疇的等價 ,而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質,數學家研究單子論。理論的另一半,即藉考慮
F
∘
G
{\displaystyle F\circ G}
,以研究伴隨關係,是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子 (英語:comonad )。
本條目中,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
皆表示某範疇 。
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的單子 是函子
T
:
C
→
C
{\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,連同兩個自然變換 ,分別是單位
η
:
1
C
→
T
{\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T}
(其中
1
C
{\displaystyle 1_{\mathcal {C}}}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的恆等函子)與乘法
μ
:
T
2
→
T
{\displaystyle \mu :T^{2}\to T}
(其中
T
2
{\displaystyle T^{2}}
是複合
T
∘
T
{\displaystyle T\circ T}
,亦是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
到
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的函子),且要滿足下列連貫條件 :
μ
∘
T
μ
=
μ
∘
μ
T
{\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T}
(左右皆為
T
3
→
T
{\displaystyle T^{3}\to T}
的自然變換)。此處
T
μ
{\displaystyle T\mu }
與
μ
T
{\displaystyle \mu T}
經水平複合 而得。
μ
∘
T
η
=
μ
∘
η
T
=
1
T
{\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}}
(兩者皆為
T
→
T
{\displaystyle T\to T}
的自然變換)。此處
1
T
{\displaystyle 1_{T}}
表示由函子
T
{\displaystyle T}
到自身的恆等自然變換。
以上兩式,亦可以下列交換圖 複述:
記號
T
μ
{\displaystyle T\mu }
與
μ
T
{\displaystyle \mu T}
的含義,參見自然變換 ,又或考慮以下更具體的寫法,不用水平複合記號,並將各函子作用在任意物件
X
{\displaystyle X}
上:
定義中,若將
μ
{\displaystyle \mu }
當成么半群的乘法,則第一條公理類似么半群 的乘法結合律 ,而第二條公理類似單位元 的存在性(由
η
{\displaystyle \eta }
給出)。準確而言,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的單子,可以等價地定義為
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的內函子範疇
E
n
d
C
{\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}}
中的么半群 。(該範疇的物件是
C
{\displaystyle C}
上的內函子,而態射是內函子間的自然變換,么半結構 來自內函子的複合運算。)如此,單子不僅在形式上具有與么半群 相似的公理,甚而單子就是么半群的特例。
冪集單子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
是集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
上的單子。其定義中,函子
T
{\displaystyle T}
取為冪集 運算,即
T
(
A
)
{\displaystyle T(A)}
為集合
A
{\displaystyle A}
的冪集 ,而對於函數
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
,
T
(
f
)
{\displaystyle T(f)}
將
A
{\displaystyle A}
的子集映至其像集 ,即
T
(
f
)
(
A
′
)
=
f
[
A
′
]
{\displaystyle T(f)(A')=f[A']}
。對每個集合
A
{\displaystyle A}
,有函數
η
A
:
A
→
T
(
A
)
{\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)}
,對每個元素
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
映至單元子集
{
a
}
{\displaystyle \{a\}}
, 並有函數
μ
A
:
T
(
T
(
A
)
)
→
T
(
A
)
,
{\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),}
將
A
{\displaystyle A}
的若干個子集構成的族,映至該些子集的並集 。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合,未必為單子。舉例,冪集單子
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
的二次疊代
P
∘
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}}
,無法配備單子結構。[ 2]
取上節定義的範疇論對偶 ,便是餘單子 (或餘三元組 )的定義。簡單複述,範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的餘單子,是對偶範疇
C
o
p
{\displaystyle C^{\mathrm {op} }}
上的單子。所以,餘單子是由
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
到
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的某個函子
U
{\displaystyle U}
,連同餘單位 與餘乘法 (英語:counit and comultiplication )兩個自然變換,組成的整體,而三者所要滿足的公理,是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於么半群,如同餘單子之於餘么半群 。每個集合皆是餘么半群,且僅有唯一一種方式,所以抽象代數 中,較少考慮餘么半群。然而,在線性代數 中,向量空間範疇 (配備張量積 )的餘么半群較為重要,以餘代數 之名為人所知。
單子的概念最早由羅傑·戈德芒 於1958年提出[ 3] ,當時稱為「標準構造」(英語:standard construction )。實際上,該書用到的是餘單子,用作解決某個層餘調 問題。
其後,單子又出現於彼得·胡伯(Peter Huber )對範疇同倫 的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。[ 4]
1965年,海因里希·克萊斯利 [ 5] ,及塞繆爾·艾倫伯格 、約翰·柯曼·摩爾 二人[ 6] 分別獨立 證明反向的結論,即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中,將單子稱為「三元組」。
1963年,威廉·洛維爾 提出泛代數 的範疇論。1966年,弗雷德·林頓(Fred Linton )將該理論用單子的語言表達。[ 7] 單子本身來自拓撲 方面的考量,事先似乎比洛維爾的理論更難處理,但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中,較常見的一個。現今常用的英文名稱monad 是1971年由桑德斯·麥克蘭恩 在《現職數學家用的範疇 》引入,以其類似單子論 中的同名哲學概念,即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代,歐金尼奧·莫吉 在理論計算機科學 中,利用單子,為電腦程式的若干方面建立模型,包括例外處理、邊界情況。[ 8] 此後,有多種函數式編程語言 仔細實作此想法,作為一種基本規律,同樣稱為單子 。2001年,若干數學家注意到,用單子研究程式標誌語意的方法,與洛維爾的理論,兩者之間有關聯。[ 9] 。此為代數與語義間的聯繫,是後來活躍的研究課題。
若有伴隨關係
F
:
C
⇄
D
:
G
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G}
(即
F
{\displaystyle F}
為
G
{\displaystyle G}
的左伴隨,下同),則由此有
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的單子。此普遍的構造,取內函子為複合
T
=
G
∘
F
,
{\displaystyle T=G\circ F,}
而單位自然變換來自伴隨的單位
η
:
id
C
→
G
∘
F
{\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F}
,乘法自然變換源自伴隨的餘單位
ε
{\displaystyle \varepsilon }
:
T
2
=
G
∘
F
∘
G
∘
F
→
G
∘
ε
∘
F
G
∘
F
=
T
.
{\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.}
反之,給定單子,可以明確找回一對伴隨函子,使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的
T
{\displaystyle T}
代數的艾倫伯格-摩爾範疇
C
T
{\displaystyle C^{T}}
。[ 10]
給定域
k
{\displaystyle k}
,雙重對偶單子 (英語:double dualisation monad )源自伴隨關係
(
−
)
∗
:
V
e
c
t
k
⇄
V
e
c
t
k
o
p
:
(
−
)
∗
,
{\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},}
其中兩個函子
(
−
)
∗
{\displaystyle (-)^{*}}
皆將
k
{\displaystyle k}
向量空間
V
{\displaystyle V}
映至對偶空間
V
∗
:=
Hom
(
V
,
k
)
{\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)}
,所以對應的單子將向量空間
V
{\displaystyle V}
映至雙對偶
V
∗
∗
{\displaystyle V^{**}}
。Kock (1970 )對此有更廣泛的討論。
偏序集
(
P
,
≤
)
{\displaystyle (P,\leq )}
可以視為特殊的範疇,任意兩件物件之間有最多一支態射,且
x
{\displaystyle x}
到
y
{\displaystyle y}
有態射若且唯若 偏序中
x
≤
y
{\displaystyle x\leq y}
。於是,偏序集之間的函子,即是保序映射,而伴隨函子對,則組成兩偏序集間的伽羅瓦連接 ,相應的單子是伽羅華連接的閉包算子 。
又舉例,設
G
{\displaystyle G}
為群範疇
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
至集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遺忘函子 ,將群 映至其基集,又設
F
{\displaystyle F}
為自由 函子,由
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
到
G
r
p
{\displaystyle \mathbf {Grp} }
,則
F
{\displaystyle F}
是
G
{\displaystyle G}
的左伴隨。此時,對應的單子
T
=
G
∘
F
{\displaystyle T=G\circ F}
的作用是,輸入一個集合
X
{\displaystyle X}
,輸出自由群
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
的基集,即字母取自
{
x
,
x
−
1
:
x
∈
X
}
{\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}}
,且無相鄰兩個字母互為逆元的字串 的集合。
該單子的單位變換,由包含映射
η
X
:
X
→
T
(
X
)
{\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)}
給出,該包含映射將
X
{\displaystyle X}
的任意元素,看成僅得一個字元的字串,從而是
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
的元素。最後,單子的乘法
μ
X
:
T
(
T
(
X
)
)
→
T
(
X
)
{\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)}
是串接 或「壓平」運算,將若干條字串組成的串,映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換 。
前述例子中,自由群可以推廣至其他種類的代數結構,即泛代數 意義下的任意一簇 代數。如此,每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是,該類代數的範疇,可從單子找回,即單子的艾倫伯格-摩爾代數範疇,故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外,尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇
V
e
c
t
{\displaystyle \mathbf {Vect} }
上,若
T
{\displaystyle T}
表示將向量空間
V
{\displaystyle V}
映至其張量代數
T
(
V
)
{\displaystyle T(V)}
的內函子,則相應有單位自然變換將
V
{\displaystyle V}
嵌入到其張量代數 ,並有乘法自然變換,在
V
{\displaystyle V}
處的分量是態射
T
(
T
(
V
)
)
→
T
(
V
)
{\displaystyle T(T(V))\to T(V)}
,將張量積之張量積展開化簡。
只要滿足某些不強的條件,無左伴隨的函子也可以產生單子,稱為餘密度單子 。例如,從有限集合範疇
F
i
n
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {FinSet} }
到集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的包含函子無法配備左伴隨,但其餘密度單子定義在
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
上,將任意集合
X
{\displaystyle X}
映至其上所有超濾子 的集合
β
X
{\displaystyle \beta X}
。 類似例子見於Leinster (2013 )。
給定範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
上的單子
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (T,\eta ,\mu )}
,可以考慮
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
代數物件 。
T
{\displaystyle T}
在該些物件上的作用,與單子的單位與乘法相容。具體而言,
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
代數
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的物件
x
{\displaystyle x}
,連同態射
h
:
T
x
→
x
{\displaystyle h:Tx\to x}
(稱為該代數的結構映射 ),使得圖
及
皆可交換。
T
{\displaystyle T}
代數間的態射
f
:
(
x
,
h
)
→
(
x
′
,
h
′
)
{\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')}
是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的態射
f
:
x
→
x
′
{\displaystyle f:x\to x'}
,且要使
可交換。於是,
T
{\displaystyle T}
代數及之間的態射組成範疇,稱為艾倫伯格-摩爾範疇 (英語:Eilenberg–Moore category ),記為
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
.
若
T
{\displaystyle T}
為前述自由群單子 ,則
T
{\displaystyle T}
代數是集合
X
{\displaystyle X}
,連同由
X
{\displaystyle X}
生成的自由群
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
到
X
{\displaystyle X}
的映射(求值 ,evaluation ),且該映射要滿足結合律 與單位元的公理。換言之,
X
{\displaystyle X}
本身就具有群結構,而
F
(
X
)
{\displaystyle F(X)}
至
X
{\displaystyle X}
的映射,是將字串按
X
{\displaystyle X}
的群乘法,計算所得的結果
另一個例子是集合範疇上的分佈單子 (英語:distribution monad )
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
,其將集合
X
{\displaystyle X}
映至其上所有有限支撐 的概率分佈 的集合。該等分佈,是函數
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f:X\to [0,1]}
,僅於有限多個元素
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
處取值非零,而各元素處取值之和為
1
{\displaystyle 1}
。以符號表示,
D
(
X
)
=
{
f
:
X
→
[
0
,
1
]
:
#
supp
(
f
)
<
+
∞
,
∑
x
∈
X
f
(
x
)
=
1
}
.
{\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.}
可由定義證明,分佈單子上的代數,等同於凸集 ,即集合要配備二元運算
+
r
{\displaystyle +_{r}}
(對每個
r
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle r\in [0,1]}
),滿足的公理比照歐氏空間 中,凸組合
(
x
,
y
)
↦
r
x
+
(
1
−
r
)
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y}
具備的性質。[ 11] [ 12]
另一個有用的單子,是交換環
R
{\displaystyle R}
的模範疇
M
o
d
R
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}}
上的對稱代數單子
Sym
∙
(
−
)
:
M
o
d
R
→
M
o
d
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}}
將
R
{\displaystyle R}
模
M
{\displaystyle M}
映到各階對稱張量 冪的直和
Sym
∙
(
M
)
=
⨁
k
=
0
∞
Sym
k
(
M
)
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)}
其中
Sym
0
(
M
)
=
R
{\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R}
。例如,
Sym
∙
(
R
⊕
n
)
≅
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
,左右兩邊作為
R
{\displaystyle R}
模同構。如此,對稱代數單子上的代數,是交換
R
{\displaystyle R}
代數 。類似地,也有反對稱張量 單子
Alt
∙
(
−
)
{\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)}
與全張量單子
T
∙
(
−
)
{\displaystyle T^{\bullet }(-)}
,相應的代數分別是反對稱
R
{\displaystyle R}
代數與自由
R
{\displaystyle R}
代數,故
Alt
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
T
∙
(
R
⊕
n
)
=
R
⟨
x
1
,
…
,
x
n
⟩
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}}
前者是
R
{\displaystyle R}
上添加
n
{\displaystyle n}
個生成元的自由反對稱代數,而後者則是
n
{\displaystyle n}
個生成元的自由代數。
對於可交換
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
代數 ,亦有類似的構造,[ 13] :113 對於可交換
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
代數
A
{\displaystyle A}
,對應單子上的代數是可交換的
A
{\displaystyle A}
代數。若
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}}
表示
A
{\displaystyle A}
模的範疇,則可以考慮函子
P
:
M
o
d
A
→
M
o
d
A
{\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}}
,定義為
P
(
M
)
=
⋁
j
≥
0
M
j
/
Σ
j
,
{\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},}
其中
M
j
=
M
∧
A
⋯
∧
A
M
⏟
j
.
{\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.}
此函子是單子,而由該單子上的代數範疇,可以得到可交換
A
{\displaystyle A}
代數的範疇
C
A
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}}
。
如前文 所述,任何伴隨關係 皆產生單子。反之,每個單子
T
{\displaystyle T}
皆可由某個伴隨關係產生,即原範疇與
T
{\displaystyle T}
代數的艾倫伯格-摩爾範疇之間的自由-遺忘伴隨
T
(
−
)
:
C
⇄
C
T
:
F
.
{\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.}
其中,左伴隨
T
(
−
)
{\displaystyle T(-)}
將
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的物件
x
{\displaystyle x}
映到自由
T
{\displaystyle T}
代數
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
,右伴隨
F
{\displaystyle F}
則將
T
{\displaystyle T}
代數
(
x
,
h
)
{\displaystyle (x,h)}
遺忘掉
h
{\displaystyle h}
,變回
x
{\displaystyle x}
。然而,通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子,該些伴隨關係組成範疇
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
:物件是伴隨關係
(
F
,
G
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}
使得
(
G
F
,
η
,
G
ε
F
)
=
(
T
,
η
,
μ
)
{\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )}
,而態射是在
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此,艾倫伯格-摩爾範疇的自由-遺忘伴隨
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
是
A
d
j
(
C
,
T
)
{\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)}
的終物件,而始物件是克萊斯利範疇
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}}
,定義為
C
T
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}}
中的自由
T
{\displaystyle T}
代數組成的完全子範疇 ,即僅包含形如
T
(
x
)
{\displaystyle T(x)}
的
T
{\displaystyle T}
代數,其中
x
{\displaystyle x}
歷遍
C
{\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}}
的物件。
設有伴隨關係
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
,對應單子為
T
{\displaystyle T}
,則函子
G
{\displaystyle G}
可分解為
D
→
G
~
C
T
→
F
C
,
{\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},}
其中
F
{\displaystyle F}
是遺忘函子。換言之,對
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
中任意物件
Y
{\displaystyle Y}
,都能賦予
G
(
Y
)
{\displaystyle G(Y)}
自然的
T
{\displaystyle T}
代數結構。若分解式中,首個函子
G
~
{\displaystyle {\tilde {G}}}
給出
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
與
C
T
{\displaystyle C^{T}}
兩範疇間的等價 ,則形容該伴隨關係為單子的 (英語:monadic )。[ 14] 後亦引申用作形容函子,若函子
G
:
D
→
C
{\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}
有左伴隨
F
{\displaystyle F}
,且該伴隨關係為單子的,則
G
{\displaystyle G}
亦稱為單子的 。例如,群範疇 與集合範疇 間的自由-遺忘伴隨是單子的,因為相應單子
T
{\displaystyle T}
上的
T
{\displaystyle T}
代數是群(見前文 )。一般而言,若有伴隨關係
(
F
:
C
→
D
,
G
:
D
→
C
,
η
,
ε
)
{\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )}
為單子的,則單從
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的物件及其上的
T
{\displaystyle T}
作用,已足以重組出
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
的物件。
貝克單子性定理 給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版:
若滿足以下三項條件:
G
{\displaystyle G}
為保守函子 ,換言之,
G
{\displaystyle G}
反映同構 (英語:reflects isomorphisms ),即對
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
中每一支態射,其為同構當且僅當在
G
{\displaystyle G}
作用下的像為
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的同構;
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
有餘等化子 ;
G
{\displaystyle G}
保餘等化子 ;
則
G
{\displaystyle G}
為單子的。
例如,由緊 豪斯多夫空間 範疇
C
H
a
u
s
{\displaystyle \mathbf {CHaus} }
到集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遺忘函子是單子的。然而,由任意拓撲空間範疇
T
o
p
{\displaystyle \mathbf {Top} }
到集合範疇
S
e
t
{\displaystyle \mathbf {Set} }
的遺忘函子則並非單子的,而定理中,保守函子的條件不成立,因為有非緊或非豪斯多夫空間,之間存在連續雙射,但不為同胚 。[ 15]
貝克定理有對偶版本,刻劃餘單子伴隨關係,對拓撲斯論 及有關下降 的代數幾何 課題有用。
餘單子的伴隨關係,首先有下列例子:
−
⊗
A
B
:
M
o
d
A
⇄
M
o
d
B
:
F
,
{\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,}
其中
A
,
B
{\displaystyle A,B}
皆為交換環 ,左伴隨用到的張量積
⊗
A
{\displaystyle \otimes _{A}}
的定義中,選定了環同態
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
,而右伴隨
F
{\displaystyle F}
是遺忘函子。根據貝克定理,當且僅當
B
{\displaystyle B}
為忠實平坦
A
{\displaystyle A}
模時,該伴隨為餘單子的。所以,可將配備下降數據(英語:descent datum ,即源自伴隨關係的餘單子的作用)的
B
{\displaystyle B}
模,降成
A
{\displaystyle A}
模。所得的忠實平坦下降 理論,廣泛應用於代數幾何。
函數式編程 中,會使用單子表達某類(有時有副作用的)順序式計算,見單子 (函數式編程) 。
範疇論邏輯中,藉閉包算子 、內代數 ,以及兩者與S4模態邏輯 、直覺主義邏輯 的關係,能以單子餘單子理論類比模態邏輯 。
亦可定義2-範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
中的單子。
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