五角六十面体
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![]() (按这里观看旋转模型) | ||||
类别 | 卡塔兰立体 六十面体 | |||
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对偶多面体 | 扭棱十二面体 | |||
识别 | ||||
名称 | 五角六十面体 | |||
鲍尔斯缩写 | sapedit | |||
数学表示法 | ||||
考克斯特符号 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
康威表示法 | gD | |||
性质 | ||||
面 | 60 | |||
边 | 150 | |||
顶点 | 92 | |||
欧拉特征数 | F=60, E=150, V=92 (χ=2) | |||
二面角 | 153° 10′ 43′′ | |||
组成与布局 | ||||
面的种类 | ![]() 不等边五边形 | |||
面的布局 | V3.3.3.3.5 V34.5[1]:97 | |||
顶点的种类 | 80个3阶顶点 12个5阶顶点[1]:97 | |||
对称性 | ||||
对称群 | Ih, 1/2H3, [5,3]+, (532) | |||
旋转对称群 | I, [5,3]+, (532) | |||
图像 | ||||
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在几何学中,五角六十面体是一种卡塔兰立体[2],为由60个不等边五边形组成的六十面体,并且是阿基米德立体扭棱十二面体的对偶多面体。[3][4]这种立体是一个等面图形,也就是说它每个面都全等,但组成面不是正多边形。五角六十面体有两种不同的形式,它们互为镜像(或“对映体”),是为手性镜像,两种手性镜像的面、顶点、边数皆相同,共有60个面、150个边、92个顶点。五角六十面体是顶点数最多的卡塔兰立体。在卡塔兰立体和阿基米德立体中,五角六十面体的顶点数为第二多,仅次于具有120个顶点的大斜方截半二十面体。
性质
[编辑]五角六十面体是一个手性多面体[2],也就是说,该多面体镜射之后会跟原本的形状不同,无法借由旋转半周再回到原本的形状[5][6][7]。这两种形式互为镜像(或“对映体”),又称为手性镜像,且其面、顶点、边数皆相同,共有60个面、150个边、92个顶点[8][6][7]。在其92个顶点中,有80个顶点是三阶顶点,即3个五边形的公共顶点和12个顶点是五阶顶点,即5个五边形的公共顶点。[1]:97
![]() 五角六十面体的旋转透视图 |
![]() 五角六十面体的另一个手性镜像的旋转透视图 |
构造
[编辑]五角六十面体是扭棱十二面体的对偶多面体。事实上,五角六十面体可以不经由对偶变换而从扭棱十二面体构造。首先在扭棱十二面体的所有12个五边形面上加入五角锥,再将扭棱十二面体的所有不与五边形面相邻的20个三角形面上加入三角锥,并调整加入之锥体的锥高,使加入的锥体之侧面与其余60个三角形面共面则形成五角六十面体,然而这种方式构造的五角六十面体会稍微有点形变。[9]
二面角
[编辑]五角六十面体只有一种二面角,约为153.18度:[6][7]
- 2.67347322717678153.178732558°
面的组成
[编辑]五角六十面体60个全等的五边形面组成,每个五边形都具有3条短边和2条长边,若令为,则短边与长边的比为:[6][7]
- 0.582899534744982414 : 1.019988247022845898
其中为黄金比例。
若令为多项式的根,则长边与短边的比值为:
- .
也就是说,若短边为单位长,则长边的长度约为1.74985单位长。
组成五角六十面体的五边形有4个相等的钝角和一个锐角(两个长边的夹角)。其中钝角的角度为,约118度8分[1]:97,而反余弦内的值是多项式的第一个实根[2];锐角的角度为,约67度28分[1]:97,而反余弦内的值是多项式的第4个根[2]。
几何
[编辑]扭棱十二面体的面心不能直接作为五角六十面体的顶点,因为4个三角形的面心位于同一个平面上,但五边形的面心则否,它需要被径向推出以使其与三角形中心共面。因此,五角六十面体的顶点并不都位于同一个球面上,因此根据定义,五角六十面体不是一个环带多面体。
若其对偶多面体的边长为单位长,则对应的五角六十面体八十个三阶顶点所在的球面之半径为:[6][7]
- 2.1172098986
- 2.220000699
体积与表面积
[编辑]若要计算五角六十面体的体积和表面积,则需要将其中一个五边形面的短边表示为,并令常数为:[10]
- .
则短边长为的五角六十面体表面积(A)为:
- .
体积(V)为:
- .
使用以上这些数值,可以计算此形状的球形度量值:
用途
[编辑]由于五角六十面体是一个等面多面体,因此可以制成骰子。[11]
参见
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press. 1971.
- ^ Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016 [2022-07-25]. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446. (原始内容存档于2022-07-26). (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron)
- ^ Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036.
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (dextro). [2022-07-24]. (原始内容存档于2022-07-27).
- ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (laevo). [2022-07-24]. (原始内容存档于2022-07-27).
- ^ Pentagonal Hexecontahedron. polyhedra.org. [2008-09-24]. (原始内容存档于2008-07-14).
- ^ Livio Zefiro and Maria Rosa Ardigo. Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra. [2022-07-25]. (原始内容存档于2021-05-06).
- ^ Pentagonal Hexecontahedron - Geometry Calculator. rechneronline.de. [2020-05-26]. (原始内容存档于2022-05-23).
- ^ Fair Dice. mathpuzzle.com. [2022-07-25]. (原始内容存档于2022-04-26).
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
- Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 29, Pentagonal hexecontahedron)
外部链接
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