等差數列

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等差數列(又名算術數列)是數列的一種。在等差數列中,任何相鄰兩項的差相等。該差值稱為公差。例如數列 就是一個等差數列。 在這個數列中,從第二項起,每項與其前一項之差都等於2,即公差為2。

通項公式[編輯]

如果一個等差數列的首項標為,公差標為,那麼該等差數列第項的表達式為:

等差數列的任意兩項之間存在關係:

和為 Sn 首項 a1 末項 an 公差d 項數n ,同時可得

等差中項[編輯]

給定任一公差為的等差數列 。從第二項開始,前一項加後一項的和的値為該項的兩倍。 例:

證明:

(矛盾)

證畢

等差數列的和[編輯]

等差數列的和稱為等差級數

公式[編輯]

一個公差為的等差數列項的級數為:

等差級數在中文教科書中常表達為:

一個等差數列的和等於其首項與末項的和乘以項數除以2。

通常認為數學家高斯在小時候就發現這個公式。在他三年級的時候,他的老師讓學生們做從1加到100【1+2+3+4+……+100】的習題。高斯很快發現數列的規律,用上面的公式得出了5050的答案。但顯然可以肯定的是,在遠遠比這更早的古希臘甚至古埃及,就已經有人掌握了等差數列的這種求和的方法。

證明[編輯]

將一個等差級數寫作以下兩種形式:

將兩公式相加來消掉公差:

整理公式,並且注意 ,我們有:

證畢

幾何方法[編輯]

範例:1+2+3+...+10=? 示範影片

如影片中所示:以面積為1單位、2單位、3單位...、10單位的長方形排成圖形

再拿一整組同樣大小的長方形反向排列,得一大長方形,而其面積除以二即為等差級數的和

原理同:

以幾何方法計算等差級數 示範影片

也就是我們所熟悉的:=上底加下底乘以高除以二。

性質[編輯]

所有等差數列的等差級數均可表示為的形式(為常數),其中公差,首項

如果以表示新數列的公差為等差級數,則數列{}也是等差數列。而且新數列的公差為

等差數列的積[編輯]

等差數列的較其和的公式複雜。給定一首項為,公差為 且其首項為正整數 的等差數列,其前項的積寫作:

其中 上升階乘冪。 注意,該公式對於首項不是正數的等差數列並不適用。等差數列的積的公式是基於階乘定義的一個推廣。

等差數列的一些其他性質[編輯]

如果,那麼對於等差數列{},則有:

當m≠n時,有 證明如下:

     
    
    
    

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • Sigler, Laurence E. (trans.). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. 2002: 259–260. ISBN 978-0-387-95419-6.