自然對數

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自然對數 ln(x) 的函數圖像

自然對數Natural logarithm)是以e底數對數函數,標記作ln(x)或loge(x),其逆函數指數函數ex

數學表示方法[編輯]

自然對數的一般表示方法為。數學中亦有以表示自然對數。[1]若要避免與底為10的常用對數混淆,可用「全寫」

歷史[編輯]

雙曲線扇形笛卡爾平面{(x,y)}上的一個區域,由從原點到(a, 1/a)和(b, 1/b)的射線,以及雙曲線 xy = 1圍成。在標準位置的雙曲線扇形有a = 1且b > 1,它的面積為ln(b)[2],此時雙曲線扇形對應正雙曲角
當直角雙曲線下的兩段面積相等時,x的值呈等比數列,x2/x1=x1/x0=k,y的值也呈等比數列,y2/y1=y1/y0=1/k。

約翰·納皮爾在1614年[3]以及Jost Bürgi在6年後[4],分別發表了獨立編制的對數表,當時通過對接近1的底數的大量乘運算,來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數,當時還沒出現有理數冪的概念,直到1742年William Jones英語William Jones (mathematician)才發表了現在的冪指數概念[5]。按後世的觀點,Jost Bürgi的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e,而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近1/e[6]。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,Henry Briggs英語Henry Briggs (mathematician)建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[7]於1624年部份完成了常用對數表的編制。

形如f(x) = xp的曲線都有一個代數反導數,除了特殊情況p = −1對應於雙曲線的弓形面積英語Quadrature (mathematics),即雙曲線扇形;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式英語Cavalieri's quadrature formula給出[8],其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成(拋物線的弓形面積英語The Quadrature of the Parabola),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年Grégoire de Saint-Vincent英語Grégoire de Saint-Vincent將對數聯繫於雙曲線xy=1的弓形面積,他發現x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同[c,d]對應的扇形,在a/b=c/d時面積相同,這指出了雙曲線從x = 1x = t的積分f(t)滿足[9]

1649年,Alphonse Antonio de Sarasa英語Alphonse Antonio de Sarasa將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓推廣了二項式定理,他將1/(1+x)展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[10],他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數。大約1730年,歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[11][12]

形式定義[編輯]

ln(a)展現為曲線 f(x) = 1/x從1至a下的面積。如果a小於1,從a到1的面積計為負數。

歐拉定義自然對數為序列的極限

ln(a)正式定義為積分

這個函數為對數是因滿足對數的基本性質:

這可以通過將定義了ln(ab)的積分拆分為兩部份,並在第二部份中進行換元x = ta來證實:

冪公式ln(tr) = r ln(t)可如下推出:

第二個等式使用了換元 u = x1/r

自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示:

性質[編輯]

(參見複數對數)

導數[編輯]

自然對數的圖像和它在x = 1.5處的切線。
ln(1 + x)的泰勒多項式只在−1 < x ≤ 1範圍內有逐步精確的近似。

自然對數的導數

證明一 (微積分第一基本定理):

證明二: 按此影片

用自然對數定義的更一般的對數函數,logb(x) = ln(x)/ln(b),根據其逆函數即一般指數函數的性質,它的導數為[13][14]

根據鏈式法則,以f(x)為參數的自然對數的導數為

右手端的商叫做f對數導數英語logarithmic derivative,通過ln(f(x))的導數的方法計算f'(x)叫做對數微分[15]

冪級數[編輯]

自然對數的導數性質導致了ln(1 + x)在0處的泰勒級數,也叫做麥卡托級數

對於所有 但不包括

x − 1代入x中,可得到ln(x)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換,可以得到對絕對值大於1的任何x有效的如下級數:

這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式

還要注意到是自身的逆函數,所以要生成特定數y的自然對數,簡單把代入x中。

對於

自然數的倒數的總和

叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫:當n趨於無窮的時候,差

收斂歐拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。[16]

積分[編輯]

自然對數通過分部積分法積分:

假設:

所以:

自然對數可以簡化形如g(x) = f '(x)/f(x)的函數的積分:g(x)的一個原函數給出為ln(|f(x)|)。這是基於鏈式法則和如下事實:

換句話說,

例子[編輯]

下面是 g(x) = tan(x)的例子:

f(x) = cos(x) 且 f'(x)= – sin(x):

與雙曲函數的關係[編輯]

直角雙曲線(方程y = 1/x)下,雙曲線三角形(黃色),和對應於雙曲角u雙曲線扇形(紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中cosh和sinh的√2倍。
射線出原點交單位雙曲線於點,這裡的是射線、雙曲線和軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點,這個面積被認為是負值。

18世紀約翰·海因里希·蘭伯特介入了雙曲函數[17],並計算了雙曲幾何雙曲三角形的面積[18]。對數函數是在直角雙曲線下定義的,可構造雙曲線直角三角形,底邊在線上,一個頂點是原點,另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數,是自然對數的逆函數指數函數,即要形成指定雙曲角u,在漸進線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是,垂線是

通過旋轉和縮小線性變換,得到單位雙曲線下的情況,有:

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的 1/2。

連分數[編輯]

儘管自然對數沒有簡單的連分數,但有一些廣義連分數如:

這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是,更大的數的自然對數,可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算,帶有類似的快速收斂。

例如,因為2 = 1.253 × 1.024,2的自然對數可以計算為:

進而,因為10 = 1.2510 × 1.0243,10的自然對數可以計算為:

複數對數[編輯]

指數函數可以擴展為對任何複數x得出複數值為ex的函數,只需要簡單使用x為複數的無窮級數;這個指數函數的逆函數形成複數對數,並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在x使得ex = 0;並且有著e2πi = 1 = e0。因為乘法性質仍適用於複數指數函數,ez = ez+2nπi,對於所有複數z和整數n

所以對數不能定義在整個複平面上,並且它是多值函數,就是說任何複數對數都可以增加2πi的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如,ln i = 1/2 πi 或 5/2 πi 或 −3/2 πi 等等;儘管 i4 = 1,4 log i 不能定義為 2πi 或 10πi 或 −6 πi,以此類推。

主值定義[編輯]

對於每個非0複數z = x + yi,主值Log z是虛部位於區間(−π,π]內的對數。表達式Log 0不做定義,因為沒有複數w滿足ew = 0。

要對Log z給出一個公式,可以先將z表達為極坐標形式,z = re。給定z,極坐標形式不是確切唯一的,因為有可能向θ增加2π的整數倍,所以為了保證唯一性而要求θ位於區間(−π,π]內;這個θ叫做幅角的主值,有時寫為Arg z或atan2(y,x)。則對數的主值可以定義為[19]

例如,Log(-3i) = ln 3 − πi/2。

常見科學用法[編輯]

自然指數有應用於表達放射衰變(放射性)之類關於衰減的過程,如放射性原子數目N隨時間變化率dN/dt=-pN,常數p為原子衰變機率,積分得N(t)=N(0)·exp(-pt)。

註釋與引用[編輯]

  1. ^ 例如哈代賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的註解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 當然是以e為基,x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。)
  2. ^ 證明:從1到b積分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
  3. ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914 
  4. ^ Boyer, Carl B., 14,Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 
  5. ^
    在最初的概念下,底數是接近1的數,而對數是整數;經過簡單變換後,底數變大了,成為接近數學常量e的數,而對數變小了,成為 x/n。
  6. ^ 選取接近e的底數b,對數表涉及的bx為單調增函數,定義域為0到1而值域為1到b;選取接近1/e的底數b,對數表涉及的bx為單調減函數,定義域為0到∞而值域為1到0。
  7. ^ 這個接近1的數為基礎。
  8. ^ 博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分
    不定積分形式為:
    獨立發現者還有:皮埃爾·德·費馬Gilles de Roberval英語Gilles de Roberval埃萬傑利斯塔·托里拆利
  9. ^ 設a=1,x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b),[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c),d=bc,即為f(bc)-f(c),當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時,兩雙曲線扇形面積相等。
  10. ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02] 
  11. ^ 卡瓦列里弓形面積公式,對於負數值的n(x的負數冪),由於在x = 0處有個奇點,因此定積分的下限為1,而不是0,即為:
    歐拉的自然對數定義:
  12. ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1.
    Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3
    Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489
  13. ^ Lang 1997, section IV.2
  14. ^ Calculation of d/dx(Log(b,x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research. [15 March 2011]. 
  15. ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0 , p. 386
  16. ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5 , sections 11.5 and 13.8
  17. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions. 
  18. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786. 
  19. ^ Sarason, Section IV.9.

參考[編輯]

  • John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
  • Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
  • Donald Sarason, Complex function theory, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.