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PID控制器

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PID控制器(比例-積分-微分控制器),由比例單元P、積分單元I和微分單元D組成[1]。通過Kp,Ki和Kd三個參數的設定。PID控制器主要適用於基本上線性,且動態特性不隨時間變化的系統。

PID控制器的方塊圖

PID控制器是一個在工業控制應用中常見的反饋迴路部件。這個控制器把收集到的數據和一個參考值進行比較,然後把這個差別用於計算新的輸入值,這個新的輸入值的目的是可以讓系統的數據達到或者保持在參考值。PID控制器可以根據歷史數據和差別的出現率來調整輸入值,使系統更加準確而穩定。

PID控制器的比例單元P、積分單元I和微分單元D分別對應目前誤差、過去累計誤差及未來誤差。若是不知道受控系統的特性,一般認為PID控制器是最適用的控制器[2]。藉由調整PID控制器的三個參數,可以調整控制系統,設法滿足設計需求。控制器的響應可以用控制器對誤差的反應快慢、控制器過衝的程度及系統震盪的程度來表示。不過使用PID控制器不一定保證可達到系統的最佳控制,也不保證系統穩定性。

有些應用只需要PID控制器的部份單元,可以將不需要單元的參數設為零即可。因此PID控制器可以變成PI控制器、PD控制器、P控制器英語Proportional control或I控制器。其中又以PI控制器比較常用,因為D控制器對回授雜訊十分敏感,而若沒有I控制器的話,系統不會回到參考值,會存在一個誤差量。

反饋迴路基礎[編輯]

PID迴路是要自動實現一個操作人員用量具和控制旋鈕進行的工作,這個操作人員會用量具測系統輸出的結果,然後用控制旋鈕來調整這個系統的輸入,直到系統的輸出在量具上顯示穩定的需求的結果,在舊的控制文檔里,這個過程叫做「復位」行為,量具被稱為「測量」,需要的結果被稱為「設定值」而設定值和測量之間的差別被稱為「誤差」。

一個控制迴路包括三個部分:

  1. 系統的傳感器得到的測量結果
  2. 控制器作出決定
  3. 通過一個輸出設備來作出反應

控制器從傳感器得到測量結果,然後用需求結果減去測量結果來得到誤差。然後用誤差來計算出一個對系統的糾正值來作為輸入結果,這樣系統就可以從它的輸出結果中消除誤差。

在一個PID迴路中,這個糾正值有三種算法,消除目前的誤差,平均過去的誤差,和透過誤差的改變來預測將來的誤差。

比如說,假如利用水箱在為植物提供水,水箱的水需要保持在一定的高度。可以用傳感器來檢查水箱裡水的高度,這樣就得到了測量結果。控制器會有一個固定的用戶輸入值來表示水箱需要的水面高度,假設這個值是保持65%的水量。控制器的輸出設備會連在由馬達控制的水閥門上。打開閥門就會給水箱注水,關上閥門就會讓水箱裡的水量下降。這個閥門的控制信號就是控制變量。

PID控制器可以用來控制任何可被測量及可被控制變量。比如,它可以用來控制溫度、壓強、流量、化學成分、速度等等。汽車上的巡航定速功能就是一個例子。

一些控制系統把數個PID控制器串聯起來,或是連成網絡。這樣的話,一個主控制器可能會為其他控制輸出結果。一個常見的例子是馬達的控制。控制系統會需要馬達有一個受控的速度,最後停在一個確定的位置。可由一個子控制器用來管理速度,但是這個子控制器的速度是由控制馬達位置的主控制器來管理的。

連合和串聯控制在化學程序控制系統中相當常見。

歷史及應用[編輯]

PID控制理論是由觀察舵手英語helmsmen的動作而來

PID控制器可以追溯到1890年代的調速器英語Governor (device)設計[2][3]。PID控制器是在船舶自動操作系統中漸漸發展。1911年Elmer Sperry英語Elmer Sperry開發的控制器是最早期PID型控制器的其中之一[4],而第一個發表PID控制器理論分析論文的是俄裔美國工程師尼古拉斯·米諾爾斯基英語Nicolas MinorskyMinorsky 1922)。米諾爾斯基當時在設計美國海軍的自動操作系統,他的設計是基於對舵手英語helmsmen的觀察,控制船舶不只是依目前的誤差,也考慮過去的誤差以及誤差的變化趨勢[5],後來米諾爾斯基也用數學的方式加以推導[6]。他的目的是在於穩定性,而不是泛用的控制,因此大幅的簡化了問題。比例控制可以在小的擾動下有穩定性,但無法消除穩態誤差,因此加入了積分項,後來也加入了微分項。

當時在新墨西哥號戰艦上進行測試,利用控制器控制角速度,利用PI控制器可以角度誤差維持在±2°以內,若加上D控制,角度誤差維持在±1/6°,比最好的舵手還要好[7]

不過因為海軍人員的抗拒,海軍那時候未使用這套系統,在1930年代也有其他人作出類似的研究。

在自動控制發展的早期,用機械設備來實現PID控制,是由槓桿彈簧阻尼及質量組成,多半會用壓縮氣體驅動。氣動控制器還一度是工業上的標準。

電子的類比控制器可以用電晶體真空管電容器電阻器組成。許多複雜的電子系統中常會包括PID控制,例如磁碟的讀寫頭定位、電源供應器的電源條件、甚至是現代地震儀的運動偵測線路。現代電子控制器已大幅的被這些利用單晶片FPGA來實現的數位控制器所取代。

現代工業使用的PID控制器多半會用PLC或有安裝面板的數位控制器來實現。軟體實現的好處是相對低廉,配合PID實現方式調整的靈敏度很大。在工業鍋爐、塑膠射出機械、燙金機及包裝行業中都會用到PID控制。

變化的電壓輸出可以用PWM來實現,也就是固定週期,依要輸出的量去調整週期中輸出高電位的時間。對於數位系統,其時間比例有可能是離散的,例如週期是二秒,高電位時間設定單位為0.1秒,表示可以分為20格,精度5%,因此存在一量化誤差,但只要時間解析度夠高,就會有不錯的效果。

理論[編輯]

PID是以它的三種糾正算法而命名。受控變數是三種算法(比例、積分、微分)相加後的結果,即為其輸出,其輸入為誤差值(設定值減去測量值後的結果)或是由誤差值衍生的信號。若定義u(t)為控制輸出,PID演算法可以用下式表示:

\mathrm{u}(t)=\mathrm{MV}(t)=K_p{e(t)} + K_{i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_{d}\frac{d}{dt}e(t)

其中

K_p:比例增益,是調適參數
K_i:積分增益,也是調適參數
K_d:微分增益,也是調適參數
e:誤差=設定值(SP)- 回授值(PV)
t:目前時間
\tau:積分變數,數值從0到目前時間t

用更專業的話來講,PID控制器可以視為是頻域系統的濾波器。在計算控制器最終是否會達到穩定結果時,此性質很有用。如果數值挑選不當,控制系統的輸入值會反覆振盪,這導致系統可能永遠無法達到預設值。

PID控制器的一般轉移函數是:

H(s)=\frac{K_d s^2+K_p s+K_i}{s+C},

其中C是一個取決於系統帶寬的常數。

比例控制項[編輯]

不同比例增益Kp下,受控變數對時間的變化(Ki和Kd維持定值)

比例控制考慮當前誤差,誤差值和一個正值的常數Kp(表示比例)相乘。Kp只是在控制器的輸出和系統的誤差成比例的時候成立。比如說,一個電熱器的控制器的比例尺範圍是10°C,它的預定值是20°C。那麼它在10°C的時候會輸出100%,在15°C的時候會輸出50%,在19°C的時候輸出10%,注意在誤差是0的時候,控制器的輸出也是0。

比例控制的輸出如下:

P_{\mathrm{out}}=K_p\,{e(t)}

若比例增益大,在相同誤差量下,會有較大的輸出,但若比例增益太大,會使系統不穩定。相反的,若比例增益小,若在相同誤差量下,其輸出較小,因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小,當有干擾出現時,其控制信號可能不夠大,無法修正干擾的影響。

穩態誤差[編輯]

比例控制在誤差為0時,其輸出也會為0。若要讓受控輸出為非零的數值,就需要有一個穩態誤差或偏移量[註 1]。穩態誤差和比例增益成正比,和受控系統本身的增益成反比。若加入一偏置,或是加入積分控制,可以消除穩態誤差。

積分控制項[編輯]

不同積分增益Ki下,受控變數對時間的變化(Kp和Kd維持定值)

積分控制考慮過去誤差,將誤差值過去一段時間和(誤差和)乘以一個正值的常數Ki。Ki從過去的平均誤差值來找到系統的輸出結果和預定值的平均誤差。一個簡單的比例系統會震盪,會在預定值的附近來回變化,因為系統無法消除多餘的糾正。通過加上負的平均誤差值,平均系統誤差值就會漸漸減少。所以,最終這個PID迴路系統會在設定值穩定下來。

積分控制〔的輸出如下:

I_{\mathrm{out}}=K_{i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau}

積分控制會加速系統趨近設定值的過程,並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大,趨近設定值的速度越快,不過過因為積分控制會累計過去所有的誤差,可能會使回授值出現過衝的情形。

微分控制項[編輯]

不同微分增益Kd下,受控變數對時間的變化(Kp和Ki維持定值)

微分控制考慮將來誤差,計算誤差的一階導,並和一個正值的常數Kd相乘。這個導數的控制會對系統的改變作出反應。導數的結果越大,那麼控制系統就對輸出結果作出更快速的反應。這個Kd參數也是PID被稱為可預測的控制器的原因。Kd參數對減少控制器短期的改變很有幫助。一些實際中的速度緩慢的系統可以不需要Kd參數。

微分控制的輸出如下:

D_{\mathrm{out}}=K_d\frac{d}{dt}e(t)

微分控制可以提昇整定時間及系統穩定性[8][9]。不過因為純微分器不是因果系統,因此在PID系統實現時,一般會為微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及雜訊[10]。實務上較少用到微分控制,估計PID控制器中只有約20%有用到微分控制[10]

參數調試[編輯]

PID的參數調試是指透過調整控制參數(比例增益、積分增益/時間、微分增益/時間)讓系統達到最佳的控制效果。穩定性(不會有發散性的震盪)是首要條件,此外,不同系統有不同的行為,不同的應用其需求也不同,而且這些需求還可能會互相衝突。

PID只有三個參數,在原理上容易說明,但PID參數調試是一個困難的工作,因為要符合一些特別的準則,而且PID控制有其限制存在。歷史上有許多不同的PID參數調試方式,包括齊格勒-尼科爾斯方法等,其中也有一些已申請專利

PID控制器的設計及調試在概念上很直覺,但若有多個(且互相衝突)的目標(例如高穩定性及快速的暫態時間)都要達到的話,在實際上很難完成。PID控制器的參數若仔細的調試,會有很好的效果,相反的,若調適不當,效果會很差。一般初始設計常需要不斷的電腦模擬,並且修改參數,一直達到理想的性能或是可接受的妥協為止。

有些系統有非線性的特性,若在無載下調試的參數可能無法在滿載下動作,可以利用增益規劃的方式進行修正(在不同的條件下選用不同的數值)。

穩定性[編輯]

若PID控制器的參數未挑選妥當,其控制器輸出可能是不穩定的,也就是其輸出發散,過程中可能有震盪,也可能沒有震盪,且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因為過大增益造成,特別是針對延遲時間很長的系統。

一般而言,PID控制器會要求響應的穩定,不論程序條件及設定值如何組合,都不能出現大幅振盪的情形,不過有時可以接受臨界穩定英語Marginal stability的情形[來源請求]

最佳性能[編輯]

PID控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關,也會隨應用而不同。

兩個基本的需求是調整能力(regulation,干擾拒絕,使系統維持在設定值)及命令追隨 (設定值變化下,控制器輸出追隨設定值的反應速度)。有關命令追隨的一些準則包括有上昇時間英語Rise time整定時間。有些應用可能因為安全考量,不允許輸出超過設定值,也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。

各方法的簡介[編輯]

有許多種調試PID控制器參數的方法,最有效的方式多半是建立某種程序,再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差,若是系統的響應時間到數分鐘以上,更可以看出人工調試效率的不佳[來源請求]

調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路「離線」有關,也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件(例如不加負載),而且控制器的輸出只需考慮適適,不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件,控制器的輸出需考慮實際的系統 。若控制迴路可以離線,最好的調試方法是對系統給一個步階輸入,量測其輸出對時間的關係,再用其響應來決定參數[來源請求]

選擇調試方式
方法 優點 缺點
人工調試 不需要數學,可以在線調試 需要有經驗的工程師[來源請求]
齊格勒-尼科爾斯方法 被證實有效的方法,可以在線調試 會影響製程,需要試誤,得到的參數可能使響應太快[來源請求]
軟體工具 調適的一致性,可以在線調試或離線調試,可以配合計算機自動設計,包括閥及感測器的分析,可以在下載前進行模擬,可以支援非穩態(NSS)的調試 需要成本或是訓練[11]
Cohen–Coon 好的程序模型 需要一些數學,需離線調試,只對一階系統有良好效果[來源請求]

人工調整[編輯]

若需在系統仍有負載的情形進行調試(線上調試),有一種作法是先將K_iK_d設為零,增加K_p一直到迴路輸出震盪為止,之後再將K_p設定為「1/4振幅衰減」(使系統第二次過衝量是第一次的1/4)增益的一半,然後增加K_i直到一定時間後的穩態誤差可被修正為止。不過若K_i可能會造成不穩定,最後若有需要,可以增加K_d,並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值,不過若K_d太大會造成響應太快及過衝。一般而言快速反應的PID應該會有輕微的過衝,只是有些系統不允許過衝,.因此需要將回授系統調整為過阻尼系統,而K_p比造成震盪K_p的一半還要小很多。

調整PID參數對系統的影響如下

調整方式 (on) 上升時間 超調量 調節時間 穩態誤差 穩定性[10]
↑ Kp 減少 ↓ 增加 ↑ 小幅增加 ↗ 減少 ↓ 變差 ↓
↑ Ki 小幅減少 ↘ 增加↑ 增加 ↑ 大幅減少↓↓ 變差↓
↑ Kd 小幅減少 ↘ 減少↓ 減少↓ 變動不大→ 變好 ↑

齊格勒-尼科爾斯方法[編輯]

齊格勒-尼科爾斯方法是另一種啟發式的調試方式,由John G. Ziegler和Nathaniel B. Nichols在1940年代導入,一開始也是將K_iK_d設定為零,增加比例增益直到系統開始振盪為止,當時的增益稱為K_u,而振盪週期為P_u,即可用以下的方式計算增益:

齊格勒-尼科爾斯方法
控制器種類 K_p K_i K_d
P 0.50{K_u} - -
PI 0.45{K_u} 1.2{K_p}/P_u -
PID 0.60{K_u} 2{K_p}/P_u {K_p}{P_u}/8

PID調試軟體[編輯]

大部份現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試,而是用PID調試及最佳化軟體來達到一致的效果。軟體會收集資料,建立模型,並提供最佳的調試結果,有些軟體甚至可以用參考命令的變化來進行調試。

數學的PID調試會將脈衝加入系統,再用受控系統的頻率響應來設計PID的參數。若是響應時間要數分鐘的系統,建議用數學PID調試,因為用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到,有些數位的迴路控制器有自我調試的程序,利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。

也有其他調試的公式,是依不同的性能準則所產生。許多有專利的公式已嵌入在PID調試軟體及硬體模組中[12]

一些先進的PID調試軟體也可以有演算法可以在動態的情形下調整PID迴路,這類軟體會先將程序建模,給微擾量,再根據響應計算參數。

PID控制的限制[編輯]

PID控制可以應用在許多控制問題,多半在大略調整參數後就有不錯的效果,不過有些應用下可能反而會有差的效果,而且一般無法提供最佳控制。PID控制的主要問題是在於其為回授控制,係數為定值,不知道受控系統的資訊,因此其整理性能常常是妥協下的結果。在沒有受控系統模型的條件下,PID控制最佳的控制器[2],但若配合系統模型,可以有進一步的提昇。

當PID控制器單獨使用時,若因應用需求,需調整PID迴路增益使控制系統不會過衝,其效果有可能很差。PID控制器的缺點還包括無法處理受控系統的非線性、需在反應時間及調整率之間妥協、無法針對參數的變動而反應(例如系統在暖機後特性會改變)、以及大擾動下的波形落後。

PID控制器最顯著的提昇是配合前饋控制英語Feed forward (control),加入有關系統的資訊,只用PID控制器來控制誤差。另外,PID控制器也有一些小幅的改善方式,例如調整參數(增益規劃或是依性能進行適應性的調整)、提昇性能(提高取樣率、精度及準度,若有需要加入低波濾波器),或是用多個串接的PID控制器。

線性[編輯]

PID控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性,若應用在一些非線性的系統,其效果可能會有變化。以暖通空調中常見的溫度控制,可能是採用主動加熱(用加熱器加熱),但冷卻是使用被動冷卻(不加熱,自然冷卻),其冷卻速度比加熱速度很多,輸出若有過衝,下降速度很慢,因此PID控制需調整為不會過衝的過阻尼,以減少或避免過衝,但這也延長了整定時間,使性能變差。

雜訊對微分器的影響[編輯]

微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻雜訊會有放大效果,因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器,只有一個有限頻寬的微分器。一般為了移除高頻的雜訊,會在量測時加入低通濾波器,若低通濾波器和微分器對消,濾波效果也就受限了,因此低雜訊的量測設備相當重要中值濾波器。實務上可以使用中值濾波器,調昇濾波效率及實際上的性能[13]。有時可以將微分器關閉,對控制性能的影響不大,此時稱為PI控制器。

PID演算法的修改[編輯]

基本的PID演算法在一些控制應用的條件下有些不足,需進行小幅的修改。

積分飽和[編輯]

積分飽和英語Integral windup是理想PID演算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動,其積分量會有大幅的變化,大到輸出值被上下限限制而飽和,因此系統會有過衝,而且即使誤差量符號改變,積分量變小,但輸出值仍被上下限限制,維持在上限(或下限),因此輸出看似沒有變化,系統仍會持續的過衝,一直要到輸出值落在上下限的範圍內,系統的回授量才會開始下降。此問題可以用以下方式處理:

  • 程序變數離開可控制範圍時,暫停積分。
  • 讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
  • 重新計算積分項,使控制器輸出維持上下限之間的範圍內[14]

PI控制器[編輯]

PI控制器的方塊圖

PI控制器(比例-積分控制器)是不用微分單元的PID控制器。

控制器的輸出為

K_P \Delta + K_I \int \Delta\,dt

其中\Delta為設定值SP和量測值PV的誤差:

\Delta = SP - PV.

PI控制器可以用SimulinkXcos英語Xcos之類的軟體進行建模,方式是使用「flow chart」圖框,其中用以下的拉氏運運算元:

C=\frac{G(1+\tau s)}{\tau s}

其中

G = K_P = 比例增益
G/\tau = K_I = 積分增益

G值的選擇需在減少過衝以及增加安定時間之間取捨。

微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感,PI控制器因為沒有微分單元,在訊號雜訊大時,在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢,因此相較於調適到最佳值的PID控制器,PI控制器會較慢到達設定值,受干擾後也比較慢恢復到正常值。

不動作區[編輯]

許多PID迴路是控制機械元件(例如閥)。機械保養是一筆可觀的費用,磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是不動作區英語deadband,都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話,PID迴路可以有輸出的不動作區英語deadband以減少輸出狀態的改變。若變化小,仍在不動作區內,讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區,實際的狀態才會隨之變化。

設定值的步階變化[編輯]

若系統的設定值有步階變化,比例單元和微分單元也會有對應的變化,特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大,因此有些PID演算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。

設定值斜坡變化
此修改方式下,設定值會用線性或是一階濾波的方式,由原始值變到新的值,避免因為步階變化產生的不連續
只對程序變數(回授量)微分
此修改下,PID控制器只針對量測的程序變數(PV)微分,不對誤差微分。程序變數是實,際的物理量,較不易有瞬間的變化,而誤差可能因為設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。
設定值加權
設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量,誤差量的設定值乘以一個0到1之間的加權,積分單元的誤差量需使用真實的設定值,以避免穩態誤差。這兩個參數不影響對負載變化及量測雜訊的響應,可以提昇對設定點變化的響應。

無衝擊運轉[編輯]

有時PID控制器會規劃為無衝擊(bumpless)的特性,在參數變化時重新計算適當的積分累計值,使輸出不會因參數變化有不連續的改變[15]

串級PID控制器[編輯]

二個PID控制器可以組合在一起,得到較佳的效果,這稱為串級PID控制。以兩個PID控制器組成的串級PID控制為例,其中一個PID控制器在外迴路,控制像液面高度或是速度等主要的物理量,另一個PID控制器是內迴路,以外迴路PID控制器的輸出做為其目標值,一般是控制較快速變化的參數,例如流量或加速度等。若利用串級PID控制,可以增加控制器的工作頻率,並降低其時間常數。

例如一個溫控的循環水浴設備有二個串級的PID控制器,分別有各自的熱電偶溫度感測器。外迴路的控制器控制水溫,其感測器距加熱器很遠,直接量測整體水溫,其誤差量是理想水溫及整體水溫的差值。外迴路PID控制器的輸出即為內迴路控制器的目標值,內迴路控制器控制加熱器,其感測器是在加熱器上,其誤差量是加熱器的理想溫度及量測到溫度的差值,其輸出會使加熱器維持在設定值附近。

內外迴路控制器的參數可能會差很多,外迴路的PID控制器有較長的時間常數,對應所有的水加熱或是冷卻需要的時間。內迴路的PID控制器反應會比較快。每個控制器可以調整到符合其真正控制的系統,例如水槽中所有的水,或是加熱器本身。

其他PID的形式及其表示法[編輯]

理想的PID及標準形PID[編輯]

工業上常看到PID控制器,而許多工業相關資料中看到的都是「標準形」的PID,其中比例極益K_p也作用在I_{\mathrm{out}}D_{\mathrm{out}}兩項,因此得到:

\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{e(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + T_d\frac{d}{dt}e(t)\right)

其中

T_i為積分時間
T_d為微分時間

在標準形中,每一個參數有其明確的物理意義,輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定,加上微分項可以預測若控制系統不改變的話,T_d時間後的誤差,而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出,希望在T_i時間後可以完全消除誤差,而輸出的值會再乘以單一的增益K_p

在理想的平行式PID中,其方程式如下:

\mathrm{MV(t)}=K_p{e(t)} + K_i\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_d\frac{d}{dt}e(t)

其中的增益和標準形PID係數的關係是:K_i = \frac{K_p}{T_i} K_d = K_p T_d \,。平行式PID中的參數都視為單純的增益,最泛用,靈活性也最高,但較沒有物理意義,因此只用在PID的理論處理中,標準形PID雖在數學上比較複雜,在工業中較常使用。

倒數增益[編輯]

許多情形下,PID控制器處理的變數是無因次的量,是某個最大值的比例,介於0到100%之間,而轉換為實際物理量(如泵浦速率或是水加熱的功率)是在PID控制器外,而這些控制變數是有因次的物理量(例如溫度)。此時K_p增益多半不會表示為「每變化一度的輸出」,而會以溫度的形式1/K_p表示,代表「100%輸出下的溫度(變化)」,代表輸出由0變到1(0%變為100%)下的溫度變化。

只針對過程變數進行微分控制[編輯]

在大部份的商業控制系統中,是用過程變數取代誤差作為微分項的輸入,其原因是當目標值有不連續變化時,微分控制會產生很大的突波,若目標值不變,改變過程變數的效果和改變誤差相同,因此有些PID控制器會用過程變數作為微分項的輸入,不會影響控制器控制過程變數,抗雜訊的能力。

\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{e(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} - T_d\frac{d}{dt}PV(t)\right)

只針對過程變數進行比例控制[編輯]

大部份的商業控制系統也提供選擇,讓過程變數也作為比例控制的輸入,因此誤差是作為積分控制的輸入,這也不會不會影響控制器控制過程變數,抗雜訊的能力。

上述的修改可以避免目標值有不連續變化時,輸出值有對應不連續的變化,若目標值有步階變化,這項調整就相當重要。

\mathrm{MV(t)}=K_p\left(\,{-PV(t)} + \frac{1}{T_i}\int_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} - T_d\frac{d}{dt}PV(t)\right)

PID控制器的拉氏轉換[編輯]

有關會將PID控制器進行拉氏轉換

G(s)=K_p + \frac{K_i}{s} + K_d{s}=\frac{K_d{s^2} + K_p{s} + K_i}{s}

PID控制器的拉氏轉換也代表著控制器的轉移函數,因此可以確認整體系統的轉移函數。

PID的極零點對消[編輯]

PID控制器可以寫成以下的形式

G(s)=K_d \frac{s^2 + \frac{K_p}{K_d}s + \frac{K_i}{K_d}}{s}

若受控設備的轉移函數如下:

H(s)=\frac{1}{s^2 + 2\zeta \omega_0 s + \omega_0^2}

又令

\frac{K_i}{K_d}=\omega_0^2
\frac{K_p}{K_d}=2\zeta \omega_0

G(s) H(s)=\frac{K_d}{s}

因此若受控設備有不穩定的極點,看似可以用此方式消除,不過實際上有些差異,由干擾到輸出的閉迴路轉移函數中仍有不穩定的極點,因此仍可能會發散。

串級型或交互型[編輯]

另一種PID控制器的表示法為串級型(series)或稱為交互型(interacting)

G(s) = K_c \frac{(\tau_i{s}+1)}{\tau_i{s}} (\tau_d{s}+1)

其中參數和標準型的參數有以下的關係

K_p = K_c \cdot \alpha, T_i = \tau_i \cdot \alpha
T_d = \frac{\tau_d}{\alpha}

\alpha = 1 + \frac{\tau_d}{\tau_i}.

上述作法可表示為二個串級的PD控制器及PI控制器,在早期類比電路的時代較容易實現,雖然控制器已經數位化,不過仍有些維持此形式。

離散化的控制器[編輯]

若要在微處理機(MCU)或是FPGA中實現PID控制或是分析其性能,就需要將控制器離散化[16]。一階微分可以用後向有限差分表示,積分項也離散化,若取樣時間為\Delta t,積分項可以用下式近似

\int_{0}^{t_k}{e(\tau)}\,{d\tau} = \sum_{i=1}^k e(t_i)\Delta t

微分項可近似為

\dfrac{de(t_k)}{dt}=\dfrac{e(t_k)-e(t_{k-1})}{\Delta t}

因此PID控制器的離散化可以將u(t)微分,再用一階導數及二階導數的定義求得u(t_k),可以徥到

u(t_k)=u(t_{k-1})+K_p\left[\left(1+\dfrac{\Delta t}{T_i}+\dfrac{T_d}{\Delta t}\right)e(t_k)+\left(-1-\dfrac{2T_d}{\Delta t}\right)e(t_{k-1})+\dfrac{T_d}{\Delta t}e(t_{k-2})\right]

其中 T_i = K_p/K_i, T_d = K_d/K_p

偽代碼[編輯]

以下是一段實現PID演算法的偽代碼:[17]

previous_error = 0
integral = 0 
start:
  error = setpoint - measured_value
  integral = integral + error*dt
  derivative = (error - previous_error)/dt
  output = Kp*error + Ki*integral + Kd*derivative
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto start

此例中有兩個變數在迴圈前需初始化為0,然後開始迴圈。目前的誤差(error)是用目前目標值(setpoint)減去系統反饋值(measured_value)而得,然後再進行積分微分運算,比例項、積分項及微分項乘以各自參數後得到輸出(output)。在實際系統中,這會透過數位類比轉換器轉換為類比訊號,作為受控系統的控制量。目前的誤差量及積分會儲存,以便下次計算微分及積分時使用,程式會等待dt秒後開始,迴圈繼續進行,透過類比數位轉換器讀取新的系統反饋值及目標值,再計算誤差量及輸出[17]

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ 唯一的例外是目標值恰好是比例增益等於0時的受控輸出。

參考文獻[編輯]

  1. ^ Li, Y., Ang, K.H., and Chong, G.C.Y. (2006) Patents, software and hardware for PID control: an overview and analysis of the current art. IEEE Control Systems Magazine, 26 (1). pp. 42-54. ISSN 0272-1708 (doi:10.1109/MCS.2006.1580153)
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Bennett, Stuart. A history of control engineering, 1930-1955. IET. 1993: p. 48. ISBN 978-0-86341-299-8. 
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  4. ^ A Brief Building Automation History. [2011-04-04]. 
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  17. ^ 17.0 17.1 PID process control, a "Cruise Control" example. CodeProject. 2009 [4 November 2012]. 

外部連結[編輯]