「Black-Scholes Model」的各地常用譯名 |
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中国大陸 | 布莱克-舒尔斯模型 |
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臺灣 | 布萊克-休斯模型 |
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布莱克-舒尔斯模型(英語:Black-Scholes Model),简称BS模型,是一种为衍生性金融商品中的選擇權定价的数学模型,由美国经济学家麥倫·休斯與費雪·布萊克首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。罗伯特·C·墨顿其後修改了數學模型,使其於有派發股利時亦可使用,新模型被稱為布萊克-休斯-墨頓模型(英語:Black–Scholes–Merton model)。
此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權,並同時與持有的資產對沖,來消除可能潛在的風險,並因此而套利。此方法也被稱為「動態 Delta中性」。此公式问世后带来了選擇權市场的繁荣,並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。
雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格,然而也有会出现差异的时候,如著名的「波動率的微笑」。然而它假設價格的變動,會符合常態分配(即俗稱的鐘形曲線),但在金融市場上經常出現符合统计学厚尾現象的事件,這影響此公式的有效性。
1997年,麥倫·休斯和罗伯特·C·墨顿借该模型获得諾貝爾經濟學獎。費雪·布萊克不幸在1995年離世,因此未能獲獎。
BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產(如股票)及一種無風險資產(現金或債券)。
假設金融資產是:
假設金融市場是:
- 不存在套利機會
- 能以无风险利率借出或借入任意數量的金錢
- 能買入及賣出(沽空)任意數量的股票
- 市场无摩擦,即不存在交易税收和交易成本
此外,假設選擇權是欧式選擇權,即只可在特定日期行权。
- V(S,t):歐式期權的理論价格
- C(S,t):認購期權的价格
- P(S,t):認沽期權的价格
- ln():自然對數
- K:交割价格
- S:即期價格(Spot)
- τ:有效期
- T:到期日
- t:時間,以年為單位,例如0.5代表6個月
![{\displaystyle \tau =T-t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864756665025e42dee4915d35cfc8867c875cb14)
- r:连续复利计无风险利率
:年度化方差
- N():常態分佈变量的累积分布函数
![{\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364ea95db528d8dbd31a74d54e2c5b18b46205e8)
對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權,其價格遵從以下偏微分方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e)
把方程重寫成左右兩邊:
![{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f41ea54b8433341a8f2d45ea5e2bc7726c780a6)
左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性。右方代表期權長倉的無風險回報及
股相關資產短倉。
求解過程會轉換成為一個熱傳導方程式。
利用以下约束条件,可解認購期權(Call Option)的理論值。
![{\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809ab3222285a7c96a62588241ded63ddfac051f)
認購期權的理論價格是:
![{\displaystyle \displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8539e8776d64be9534ea3a5dbf530a3b4cc6e8)
其中:
![{\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8897a1e41d88ddc3c09660bae5ecfe3a904f50)
![{\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb728c3ab90a46afe2acd382690a98bb5f18fa9)
利用相同的方法,也可解認沽期權的理論價格:
![{\displaystyle \displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1a2f5b90c5b7d13822fbd7e214a9b86fbe0313)
認購期權及認沽期權的理論價格都包含
,把交割價格K以連續複利折算為現值。
![{\displaystyle \displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368e5e80110368536d82bd8324cdfe2f8fca8fe9)
布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型,其公式如下:
其中:
![{\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9866a1cfbf97e928fd50a8c6064f68aea60f531d)
![{\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ee6ba36e7992a8e4a8ad6d74deb70db5dbd919)
- k:表示标的股票的年股利收益率(假设股利连续支付,而不是离散分期支付)
- Ln:自然對數;
- C:期權初始合理价格;
- L:期權交割价格;
- S:交易所金融资产现价;
- T:期權有效期;
- r:连续复利计无风险利率H;
:年度化方差;
- N():常態分布变量的累积分布函数。