四維多胞體：修订间差异

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2022年12月19日 (一) 09:48的版本

在四維幾何學中，四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形^[1]^[2]，其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。這些多胞體的組成元素可分為頂點、邊、面（多邊形）、胞（多面體）。每個面都與兩個胞相鄰。四維多胞體最早由瑞士數學家路德维希·施莱夫利在1853之前發現。^[4]

四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體。

從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維堆砌體密切相關，如立方體堆砌，其為三維空間的空間填充；類似地，三維立方體也與二維的正方形鑲嵌有關。凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的展開圖。

定義

四維多胞體是一個封閉的四維幾何結構。其由頂點（角點）、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比，也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞，類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。另外，也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣，四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件，也就是說，其不能為複合體。

幾何

四维凸正多胞体是三維柏拉圖立體在四維空間的類比。最常見的就是超立方體，立方體的四維類比。

四维凸正多胞体可以在相同半徑的條件下，依其大小（超體積）排序。序列中每一個幾何結構都比求一個更圓、更接近超球體，在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間 ^[5]。正五胞體是最小的情況，而正一百二十胞體是最大的情況。其結構複雜度（鈄過比較排佈矩陣（英语：Configuration_(polytope)）或簡單的頂點數量來衡量）也依照這個順序排列。

四維凸正多胞體
對稱群	A₄	B₄（英语：Hyperoctahedral_group）		F₄（英语：F4 (mathematics)）	H₄（英语：H4 polytope）
名稱	正五胞體超四面體	正十六胞體超八面體	四維超正方體超立方體	正二十四胞體	正六百胞體超二十面體	正一百二十胞體超十二面體
施萊夫利符號	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
考克斯特記號
鏡像二面角	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
圖
頂點	5個正四面體狀	8個正八面體狀	16個正四面體狀	24個立方體狀	120個正二十面體狀	600個正四面體狀
邊	10個正三角形分布	24個正方形分布	32個正三角形分布	96個正三角形分布	720個正五邊形分布	1200個正三角形分布
面	10個正三角形	32個正三角形	24個正方形	96個正三角形	1200個正三角形	720個正五邊形
胞	5個正四面體	16個正四面體	8個立方體	24個正八面體	600個正四面體	120個正十二面體
Tori	1個5-四面體	2個8-四面體	2個4-立方體	4個6-八面體	20個30-四面體	12個10-十二面體
大多邊形		2 𝝅/2 3個正方形	4 𝝅/2 3個矩形	4 𝝅/3 4個正六邊形	12 𝝅/5 6個十邊形	50 𝝅/15 4個十二邊形
皮特里多邊形	1個物邊形	1個八邊形	2個八邊形	2個十二邊形	4個三十邊形（英语：30-gon#Petrie polygons）	20個三十邊形（英语：30-gon#Petrie polygons）
長半徑	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
邊長	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
短半徑	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
面積	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
體積（超表面積）	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
超體積	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

拓樸特徵

四維多胞體的拓樸特徵由貝蒂數和扭轉係數定義。^[6]

用於描述多面體的歐拉特徵數並不能有效地推廣到更高的維度，對於所有四維多胞體而言，無論其有合拓樸結構，歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構，因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。^[6]

同樣地，多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況，因此需要使用扭轉係數來描述。^[6]

參見

四維凸正多胞體

參考文獻

^ Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
^ Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8.
^ ^3.0 ^3.1 Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes（英语：Regular Polytopes (book)） 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.
^ Coxeter 1973^[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.
^ Coxeter 1973^[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]
^ ^6.0 ^6.1 ^6.2 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

[1] Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674. ISBN 978-3-540-85977-2.

[2] Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8.

[Coxeter_1973-3] 3.0 ^3.1 Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes（英语：Regular Polytopes (book)） 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8.

[4] Coxeter 1973^[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.

[5] Coxeter 1973^[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]

[richeson-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.

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