轨形

这术语的来源不该归在我身上。它是我在1976-77年的课程中通过民主程序获得的。轨形是有很多“折”（fold）的东西，但是“manifold”（流行）已经占了一个位置。我试着用“foldamani”，但很快被“manifolded”取代了。我每次都耐心地说“不，不是流形，是‘死流形’（manifoldead）”，两个月后我们搞了一次投票，“轨形”（orbifold）获胜了。

Thurston (1978–1981, p. 300，section 13.2)解释了“轨形”（orbifold）的起源

拓扑学与几何学中，轨形（orbifold，“有轨的流形”）是对流形的推广。粗略地说，轨形是局部为欧氏空间的有限群商的拓扑空间。

轨形的定义已经出现过好几次：1950年代佐武一郎在研究自守形式时将其命名为“V-流形”；1970年代，威廉·瑟斯顿在研究3-流形的几何时，经过与学生的投票将其命名为“轨形”；1980年代，André Haefliger在研究米哈伊尔·格罗莫夫的CAT(k)空间计划时将其命名为“轨面体”（orbihedron）。

历史上，早在正式定义出现前，轨形首先是作为具有奇点的曲面出现的。最早的经典例子之一出现在模形式理论中， 模群$\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$对上半平面的作用：对商添加2个轨形尖点、实现紧化后，可得到黎曼–罗赫定理的一种表述。3-流形理论中，赫伯特·塞弗特提出的塞弗特纤维空间理论可用2维轨形表述。几何群论中，后格罗莫夫时期的离散群是根据“轨面体”（orbihedron）及其覆叠空间的局部曲率特性来研究的。

弦论中，“轨形”的含义略有不同。下详。二维共形场论中，“轨形”指顶点代数在自同构的有限群作用下附着于定点的子代数。

底空间的主要例子是流形在具有迷向有限子群的微分同胚（可能无限）群的纯不连续作用下的商空间。这尤其适于有限群的任何作用，于是有界流形带有自然的轨形结构，因为它是自身的双倍对$\mathbb {Z} _{2}$作用的商。

拓扑空间可携带不同的轨形结构。例如，考虑与沿$\pi$旋转的圆的商空间相关联的轨形O，其与圆同胚，但自然轨形结构不同。可将流形的大部分特征直接推广到轨形，而它们通常不同于底空间的相应特征。上述例子中，O的轨形基本群是$\mathbb {Z} _{2}$，其轨形欧拉示性数为1。

正式定义

使用轨形图集

与流形类似，轨形也由局部条件指定；不过轨形不是以$\mathbb {R} ^{n}$的开子集为局部模型，而用$\mathbb {R} ^{n}$的开子集对有限群作用的商。轨形的结构不仅包括底商空间的结构（不必是流形），还包括迷向子群。

n维轨形包含豪斯多夫拓扑空间X，称作底空间（underlying space）；以及一个覆叠，包含对有限相交封闭的开集$U_{i}$。对每个$U_{i}$都有

• 开子集$V_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$，在有限群$\Gamma _{i}$的忠实线性作用下不变；
• 连续映射$\varphi _{i}:\ V_{i}\to U_{i}$，在invariant under $\Gamma _{i}$下不变，其称作轨形坐标图（chart），定义了$V_{i}/\Gamma _{i}$与$U_{i}$间的同胚。

若满足下列属性，则轨形坐标图的集合形成轨形图集（atlas）：

• 对每个包含$U_{i}\subset U_{j}$，都有单射群同态$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}$
• 对每个包含$U_{i}\subset U_{j}$，都有$\Gamma _{i}$-等变同胚$\psi _{ij}:\ V_{i}\to V_{j}$的开子集，称作胶合映射（gluing map）
• 胶合映射与坐标图相容，即$\phi _{j}\cdot \psi _{ij}=\phi _{i}$
• 胶合映射在群元素组成的意义上是唯一的，即对$\Gamma _{j}$中唯一的g，$V_{i}\to V_{j}$的任意其他可能的胶合映射都有$g\cdot \psi _{ij}$形式。

对流形上的图集，若X的两个轨形图集能连续地组合成更大的轨形图集，则称它们等价。于是，轨形结构是轨形图集的等价类。

注意轨形结构在同构意义上决定了轨形上任意点的迷向子群：可作为任意轨形坐标图上点的稳定子来计算。若$U_{i}\subset U_{j}\subset U_{k}$，则在$\Gamma _{k}$中有唯一的过渡元素$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$，使得

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

这些过渡元素满足

$({\rm {Ad}}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdot f_{ij}$

以及上循环关系（不失结合性）

$f_{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

更广义地说，在轨形坐标图对轨形的开覆叠上，附着着叫做“复合群”的组合数据。（下详）

与流形的情形完全一样，可对胶合映射施加可微条件，得到可微轨形。若轨形坐标图上还存在不变的黎曼度量，且胶合映射等距，则称其为黎曼轨形。

用李广群定义

广群包含对象集合$G_{0}$、箭头集$G_{1}$与结构映射（包括源映射和目标映射$s,t:G_{1}\to G_{0}$及允许箭头组合、取逆的其他映射）。若$G_{0},\ G_{1}$都是光滑流形；所有结构映射都光滑；源映射和目标映射都是浸没，则称其为李广群。源纤维与目标纤维在给定点$x\in G_{0}$的交，即集合$(G_{1})_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)$，是$G_{1}$在x点的迷向群，是个李群。若映射$(s,t):G_{1}\to G_{0}\times G_{0}$是紧合映射，则称李广群也紧合（proper）；若源映射和目标映射都是局部微分同胚，则称平展。

轨形广群由以下等价定义给出：

• 紧合平展李广群；
• 紧合李广群，其迷向为离散空间。

由于紧合广群的迷向群自动地紧，离散条件意味着迷向群必须是有限群。

在上述定义中，轨形广群与轨形图集起类似作用。事实上，在豪斯多夫拓扑空间X上的轨形结构被定义为轨形广群$G\rightrightarrows M$的Morita等价类，以及同胚$|M/G|\simeq X$，其中$|M/G|$是李广群G的轨道空间（即当$x\sim y$时，若有$g\in G\ (s(g)=x,\ t(g)=y)$，M对等价关系的商）。这定义表明，轨形是一种特殊的微分叠。

两种定义间的关系

给定空间X上的轨形图集，可构造伪群，由X的开集间所有保留了过渡函数$\varphi _{i}$的微分同胚组成。反过来，其元素的芽空间$G_{X}$是轨形广群。此外，据轨形图集的定义，有限群$\Gamma _{i}$都忠实地作用于$V_{i}$，所以广群$G_{X}$自动地有效，即映射$g\in (G_{X})_{x}\mapsto \mathrm {germ} _{x}(t\circ s^{-1}),\ \forall x\in X$都是单射。当且仅当与之相关联的轨形广群Morita等价时，两个不同的轨形图集会产生相同的轨形结构。于是，第一个定义的轨形结构（也称为经典轨形）在第二个定义下是特殊的。

反过来说，给定轨形广群$G\rightrightarrows M$，在其轨道空间上有规范轨形图集，其相关的有效轨形广群与G Morita等价。由于Morita等价广群的轨道空间是同胚的，在有效情况下，第二个定义的轨形结构还原了经典轨形。

因此，虽然轨形图集的概念更简单，在文献中也更常见，但轨形广群在讨论非有效轨形与轨形间的映射时特别有用。例如，轨形间的映射可用广群间的同胚描述，比底拓扑空间之间的底连续映射携带更多信息。

例子

• 无界流形都是轨形，其中每个群$\Gamma _{i}$都是平凡群。等价地，其对应单位广群的Morita等价类。
• 若N是紧有界流形，则其加倍（double）M可由N与其镜像沿共同边界粘合而成。在固定共同边界的流形M上存在$\mathbb {Z} _{2}$的自然反射作用，商空间可被认同为N，于是N具有自然轨形结构。

• 若M是黎曼n维流形，且具有离散群Γ的余紧等距真作用（cocompact proper isometric），则轨道空间$X=M/\Gamma$具有自然轨形结构：$\forall x\in X$，取代表性的$m\in M$与m的开邻域$V_{m}$，在稳定子$\Gamma _{m}$下不变，与$T_{m}M$在m处的指数映射下的$\Gamma _{m}$子集等价确定；有限多邻域覆盖X，而它们的有限交（若非空）都被相应群$g_{m}\Gamma g_{m}^{-1}$与Γ-平移（Γ-translate）$g_{m}\cdot V_{m}$的交覆盖。这样产生的轨形称作可发展或性质良好。
• 亨利·庞加莱的一个经典定理将福斯群构造为双曲反射群，由双曲面中测地三角形边的反射生成，符合庞加莱度量。若三角形有角$\pi /n_{i}$（$n_{i}$为正整数），则其是基本域，自然是2维轨形，对应的群是双曲三角群的例子。庞加莱还给出了这一结果对克莱因群的3维版本：这时，克莱因群Γ由双曲反射生成，轨形是$\mathbb {H} ^{3}/\Gamma$。
• 若M是闭2维流形，则可从M中取出有限多不交闭圆盘，再分别粘回圆盘$D/\Gamma _{i}$（D是闭单位圆盘，$\Gamma _{i}$是旋转的有限循环群），这样便在Mi上定义了新的轨形结构。

轨形基本群

有几种方法定义轨形基本群。更精致的方法是用轨形覆叠空间或分类空间（广群的空间）。最简单的方法（Haefliger采用，瑟斯顿也使用）推广了基本群标准定义中的环圈。

轨形路径在底空间中，具有明确的将路径分段提升到轨形坐标图的方法，及明确的识别重叠坐标图中路径的群元素；若底路径是环圈，则称之为轨形环圈。两轨形路径若通过与轨形坐标图中的群元素相乘而产生关联，则它们就被确认了。轨形基本群是由轨形环圈的同伦类形成的群。

若轨形来自单连通流形M对离散群Γ的刚性真作用（proper rigid action）的商，则轨形基本群可被认同为Γ。总的来说，它是Γ对$\pi _{1}M$的群扩张。

若轨形来自对群作用的商，则称其可发展或性质良好；否则称不良。类比拓扑空间的万有覆叠空间，可为轨形构造万有覆叠轨形，即“轨形上的点，与连接点和基点的轨形路径的同伦类”的对子组成的空间。这空间自然是轨形。

注意，若可收缩开子集上的轨形坐标图对应群Γ，则Γ到轨形基本群，有自然的局部同胚。

以下条件等价：

• 轨形是良好的。
• 万有覆叠轨形上的轨形结构平凡。
• 对可收缩开集的覆叠，局部同胚都是单射。

作为广义微分几何

轨形可定义在广义微分几何的一般框架中，可以证明其等价于佐武一郎的原始定义：

定义. 轨形是在每个点上都与某个$\mathbb {R} ^{n}/G$（n是整数，G是有限线性群，后者不是定的）局部微分同胚的微分空间（diffeological space）。

这个定义需要一些说明：

• 这个定义模仿了广义微分几何中流形的定义，即每个点上都与$\mathbb {R} ^{n}$存在局部微分同胚的微分空间。
• 轨形首先是微分空间，具备广义微分几何的集合。然后，广义微分几何在检验中，于每点都局部微分同胚于商$\mathbb {R} ^{n}/G$，其中G是有限线性群。
• 这定义等同于Haefliger轨形。
• {轨形}是{广义微分几何}的子范畴，其对象是微分空间，态射是光滑映射。轨形间的光滑映射，是对其广义微分几何而言光滑的映射。这就解决了佐武一郎在定义中所说：“如此定义的$C^{\infty }$-映射有点不方便：在不同的定义族中定义的两个$C^{\infty }$-映射之复合并不总是$C^{\infty }$-映射。”事实上，有些轨形间的光滑映射并不作为等变映射局部提升（lift）。

注意，作为微分空间的轨形的基本群不同于上面定义的基本群，后者与结构广群及其迷向群有关。

轨空间

在几何群论的应用中，用Haefliger提出的略微广义的轨形概念往往更方便。轨空间（orbispace）之于拓扑空间，如同轨形之于流形，是轨形概念在拓扑学的推广。其定义用具有有限群的刚性作用的局部紧空间代替了轨形坐标图模型，即具有平凡迷向的点是稠密的（忠实线性作用自动满足这条件，因为任何非平凡群元素固定的点都会形成紧合线性子空间）考虑轨空间上的度量空间结构也是有用的，它们由轨空间上的不变度量给出，其中胶合映射保留距离。这时，通常要求轨空间坐标图是长度空间，具有连接任意两点的唯一测地线。

令X为赋以度量空间结构的轨空间，其坐标图是测地线长度空间。前面关于轨形的定义和结果可推广到轨空间基本群和万有覆叠轨空间，及类似的可发展性标准。轨空间坐标图上的距离函数可用于定义万有覆叠轨空间中轨空间路径的长度，若每个坐标图中的距离函数曲率非正，则伯克霍夫曲线缩短论证就可证明，任何定端点轨空间路径都与唯一的测地线同伦。将这应用于轨空间坐标图中的常路径，可知每个局部同态都是单射，于是：

• 曲率非正的轨空间都是良好的。

群的复合

每个轨形都与由复合群给出的附加组合结构有联系。

定义

抽象单纯复形Y上的复合群$(Y,\ f,\ g)$由以下条件给出

• 对Y的每个单纯形σ，有限群$\Gamma _{\sigma }$
• 单射同态$f_{\sigma \tau }:\ \Gamma _{\tau }\rightarrow \Gamma _{\sigma },\ \sigma \subset \tau$

• 对每个包含$\rho \subset \sigma \subset \tau$，都有群元素$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{\rho }$使得$({\rm {Ad}}g_{\rho \sigma \tau })\cdot f_{\rho \tau }=f_{\rho \sigma }\cdot f_{\sigma \tau }$（其中Ad表示共轭的伴随作用）

此外，群作用还要满足上循环条件

$f_{\pi \rho }(g_{\rho \sigma \tau })g_{\pi \rho \tau }=g_{\pi \sigma \tau }g_{\pi \rho \sigma }$

对每个单形链$\pi \subset \rho \subset \sigma \subset \tau .$（若Y的维度小于等于2，这条件就是空的）

任意元素的选择$h_{\sigma \tau }\in \Gamma _{\sigma }$都会产生等价的复合群，定义如下

• $f_{\sigma \tau }=({\rm {Ad}}h_{\sigma \tau })\cdot f_{\sigma \tau }$
• $g_{\rho \sigma \tau }=h_{\rho \sigma }\cdot f_{\rho \sigma }(h_{\sigma \tau })\cdot g_{\rho \sigma \tau }\cdot h_{\rho \tau }^{-1}$

只要$g_{\rho \sigma _{\tau }}=1$无处不在，就称复合群是单的。

• 一个简单的归纳论证表明，单纯形上的复合群都等价于各处$g_{\rho \sigma \tau }=1$的复合群。

用Y的重心重分通常更方便，概念上也更吸引人。这细分的顶点对应Y的单形，因此顶点附带一个群。重心重分的边自然有向（对应单形的包含），有向边给出了群的包含。三角形都附有过渡元素，属于恰有1顶点的群；（若有）四面体给出了过渡元素的上循环关系。于是，复合群只涉及重心重分的3-骨架；若是单的，则只涉及2-骨架。

例子

若X是轨形或轨空间，从轨形坐标图$f_{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i}$中择一由开子集构成的覆叠。令Y为由覆叠的神经给出的抽象单纯复形：其定点是覆叠集，n单形对应非空交$U_{\alpha }=U_{i_{1}}\cap \ldots \cap U_{i_{n}}.$对每个这样的单纯形，都有相关联的群$\Gamma _{\alpha }$，同态$f_{ij}$成为同态$f_{\sigma \tau }$。每个三元链$\rho \subset \sigma \subset \tau$对应交

$U_{i}\supset U_{i}\cap U_{j}\supset U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$

有坐标图$\varphi _{i}:\ V_{i}\rightarrow U_{i},\ \varphi _{ij}:\ V_{ij}\rightarrow U_{i}\cap U_{j},\ \varphi _{ijk}:\ V_{ijk}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$，以及胶合映射$\psi :\ V_{ij}\rightarrow V_{i},\ \psi ':\ V_{ijk}\rightarrow V_{ij},\ \psi '':\ V_{ijk}\rightarrow V_{i}.$

有唯一的过渡元素$g_{\rho \sigma \tau }\in \Gamma _{i}$，使$g_{\rho \sigma \tau }\cdot \psi ''=\psi \cdot \psi '.$轨形的过渡元素满足的关系意味着复合群所需的关系，这样，复合群就可通过轨形（或轨空间）坐标图，规范地与开覆叠的神经相关联。用非交换层理论和束的语言来说，这时的复合群是作为与覆叠$U_{i}$相关联的群层产生的；数据$g_{\rho \sigma \tau }$是非交换层上同调中的一个2-上循环，数据$h_{\sigma \tau }$给出了2-上边界扰动。

边径群

复合群的边径群（edge-path group）可定义为单纯复形边径群的自然推广。在Y的重心重分中，取对应于i到j的边（$i\rightarrow j$）的生成子$e_{ij}$，则有单射$\psi _{ij}:\ \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}.$令Γ为由$e_{ij},\ \Gamma _{k}$生成的群，具有关系

$e_{ij}^{-1}\cdot g\cdot e_{ij}=\psi _{ij}(g)$

其中$g\in \Gamma _{i}$，且

$e_{ik}=e_{jk}\cdot e_{ij}\cdot g_{ijk}$

若$i\rightarrow j\rightarrow k.$

对于定顶点$i_{0}$，边径群$\Gamma (i_{0})$定义为由Γ的所有积生成的子群：

$g_{0}\cdot e_{i_{0}i_{1}}\cdot g_{1}\cdot e_{i_{1}i_{2}}\cdot \dots \cdot g_{n}\cdot e_{i_{n}i_{0}}$

其中$i_{0},\ i_{1},\ \ldots ,\ i_{n},\ i_{0}$是一条边径，$g_{k}$位于$\Gamma _{i_{k}}$中，$e_{ji}=e_{ij}\ (i\rightarrow j).$

可发展复形

在具有有限商的单纯复形X上，离散群的单纯紧合作用若满足以下条件之一，则称该作用正则（regular）：

• X以有限子复形为基本域；
• 商$Y=X/\Gamma$具有自然单纯结构；
• 商单纯结构在定点的轨道表示上一致；
• 若$(v_{0},\ \ldots ,\ v_{k})$和$(g_{0}\cdot v_{0},\ \ldots ,\ g_{k}\cdot v_{k})$是单形，则对部分$g\in \Gamma ,\ g\cdot v_{i}=g_{i}v_{i}.$

这时，基本域和商$Y=X/\Gamma$可自然地确定为单纯复形，由基本域中单形的稳定子给出。这样得到的复合群Y称作可发展（developable）。

• 复合群可发展，当且仅当$\Gamma _{\sigma }$到边径群的同态是单射。
• 复合群可发展，当且仅当对每个单形σ，有单射同态$\theta _{\sigma }:\ \Gamma _{\alpha }\to \Gamma$，其中后者是定离散群，使得$\theta _{\tau }\cdot f_{\sigma \tau }=\theta _{\sigma }$。这时，单纯复形X得到了规范的定义：其有k单形$(\sigma ,\ x\Gamma _{\sigma }$，其中σ是Y的k单形，x在$\Gamma /\Gamma _{\sigma }$上运行。利用复合群对单形的限制等价于具有平凡上循环$g_{\rho \sigma \tau }$这一事实，可以检验一致性。

Γ在X的重点重分X'上的作用总满足以下条件，弱于正则性：

• 只要σ和$g\cdot \sigma$是某单形τ的子单形，则它们就相等：$\sigma =g\cdot \sigma$

事实上，X '中的单形对应X中的单形链，因此单形子链给出的子单形由子链中单形的大小唯一确定。作用满足这条件时，g必然固定了σ的所有顶点。有直接的归纳证明表明，这样的作用在重心重分上是正则的；特别是

• 在第二重心重分X"上的作用正则；
• Γ自然地与X"中基本域的重心子分用边径和定点稳定子定义的边径群同构

事实上没必要进行第三次重心重分：如Haefliger利用范畴论的语言指出的，这时X基本域的3-骨架已经承载了所有必要数据，包括三角形的过渡元素，可定义与Γ同构的边径群。

2维中，这尤其容易描述。X的基本域具有与群Y的复合的重心重分Y'相同的结构，即

• 有限2维单纯复形Z；
• 所有边$i\rightarrow j$的方向；
• 若$i\rightarrow j,\ j\rightarrow k$是边，则 $i\rightarrow k$也是边，且$(i,\ j,\ k)$是三角形；
• 有限群附着于定点，包含于边；过渡元素描述了相容性，接到三角形。

这样就可以定义边径群。重心子分Z'也继承了类似结构，其边径群同构于Z的边径群。

轨边形

若可数离散群在单纯复形上有正则单纯紧合作用，则商不仅可被赋予复合群的结构，还可被赋予轨空间结构。这就引出了“轨边形”（orbihedron）概念，其是轨形的简单类似物。

定义

令X是有限单纯复形，有重心重分X'。轨边形结构包含：

• 对每个定点$i\in X$，都有由有限群$\Gamma _{i}$的刚性单纯作用的单纯复形$L'_{i}$。
• $L'_{i}$到X'中i的邻域$L_{i}$的单纯映射$\varphi _{i}$使得商$L'_{i}/\Gamma _{i}$与$L_{i}$一致。

$\Gamma _{i}$在$L'_{i}$上的这作用延伸到$L'_{i}$上单纯锥$C_{i}$的单纯作用（i和$L'_{i}$的单纯链接），并固定了锥心i，映射$\varphi _{i}$延伸为单纯映射$C_{i}\to {\rm {St}}(i)$（i的星），将重心带到i上，因此$\varphi _{i}$可与$C_{i}/\Gamma _{i}$等同，在i处给出一个轨边形坐标图。

• 对X'的有向边$i\rightarrow j$，单射同态$f_{ij}:\ \Gamma _{i}\to \Gamma _{j}.$
• 对每条有向边$i\rightarrow j$，$\Gamma _{i}$等变单纯胶合映射$\psi _{ij}:\ C_{i}\to C_{j}.$
• 胶合映射与坐标图相容，即$\varphi _{j}\cdot \psi _{ij}=\varphi _{i}$
• 胶合映射在与群元素的复合的意义上唯一，即对唯一的$g\in \Gamma _{j},\ V_{i}\to V_{j}$的任何其他可能的胶合映射都具有$g\cdot \psi _{ij}$形式。

若$i\rightarrow j\rightarrow k$，则有唯一的过渡元素$g_{ijk}\in \Gamma _{k}$使得

$g_{ijk}\cdot \psi _{ik}=\psi _{jk}\cdot \psi _{ij}$

这些过渡元素满足

解析失败 (未知函数“\cdotf”): {\displaystyle ({\rm Ad}g_{ijk})\cdot f_{ik}=f_{jk}\cdotf_{ij}}

及上循环关系

$\psi _{km}(g_{ijk})\cdot g_{ikm}=g_{ijm}\cdot g_{jkm}$

另见

• 几何商
• 向形
• 叠 (数学)

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