全概率公式

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假設{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一個概率空間的有限或者可數無限的分割(既 Bn为一完备事件组),且每个集合Bn是一个可测集合,则对任意事件A全概率公式

\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\cap B_n)\,

又因为

\Pr(A\cap B_n) = \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n),

此处Pr(A | B)是B发生后A条件概率,所以全概率公式又可写作:

\Pr(A)=\sum_{n} \Pr(A\mid B_n)\Pr(B_n).\,

全概率公式将对一复杂事件A的概率求解问题转化为了在不同情况或不同原因 Bn下发生的简单事件的概率的求和问题。

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条件概率的期望值[编辑]

在离散情况下,上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立:

\Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))

此处N是任意随机变量

这个公式还可以表达为:

"A先验概率等于A后验概率的先验期望值

参见[编辑]