波耳模型

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波耳模型丹麥物理學家尼爾斯·波耳於1913年提出的關於氫原子結構的模型。波耳模型引入量子化的概念,使用古典力學研究原子電子的運動,很好地解釋了氫原子光譜元素周期表,取得了巨大的成功。波耳模型是20世紀初期物理學取得的重要成就,對原子物理學產生了深遠的影響。

波耳模型的提出[編輯]

丹麥物理學家尼爾斯·波耳(1885—1962)

20世紀初期,德國物理學家普朗克為解釋黑體輻射現象,提出了量子論,揭開了量子物理學的序幕。19世紀末,瑞士數學教師巴耳末將氫原子的譜線表示成巴耳末公式瑞典物理學家芮得柏總結出更為普遍的光譜線公式芮得柏公式

\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n'^{2}})\qquad n=1,2,3\cdots,\quad n'=n+1,n+2,n+3\cdots

其中{\lambda}為氫原子光譜波長,R為芮得柏常數

然而巴耳末公式和式芮得柏公式都是經驗公式,人們並不了解它們的物理含義。

1911年,英國物理學家拉塞福根據1910年進行的α粒子散射實驗,提出了原子結構的行星模型。在這個模型里,電子像太陽系行星圍繞太陽轉一樣圍繞著原子核旋轉。但是根據古典電磁理論,這樣的電子會發射出電磁輻射,損失能量,以至瞬間塌縮到原子核里。這與實際情況不符,拉塞福無法解釋這個矛盾。

1912年,正在英國曼徹斯特大學工作的波耳將一份被後人稱作《拉塞福備忘錄》的論文提綱提交給他的導師拉塞福。在這份提綱中,波耳在行星模型的基礎上引入了普朗克的量子概念,認為原子中的電子處在一系列分立的穩態上。回到丹麥後波耳急於將這些思想整理成論文,可是進展不大。

1913年2月4日前後的某一天,波耳的同事漢森拜訪他,提到了1885年瑞士數學教師巴耳末的工作以及巴耳末公式,波耳頓時受到啟發。後來他回憶到「就在我看到巴耳末公式的那一瞬間,突然一切都清楚了,」「就像是七巧板遊戲中的最後一塊。」這件事被稱為波耳的「二月轉變」。

1913年7月、9月、11月,經由拉塞福推薦,《哲學雜誌》接連刊載了波耳的三篇論文[1][2][3],標誌著波耳模型正式提出。這三篇論文成為物理學史上的古典,被稱為波耳模型的「三部曲」。

波耳模型的主要內容[編輯]

氫原子中的電子圍繞原子核做圓周運動,運動的軌道是古典軌道。電子做圓周運動的向心力是由電子和原子核之間的庫侖力提供的,即:

m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}

而電子的能量是動能勢能

E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}

所以電子的軌道週期是:

T^2 = \frac{16\pi^3\varepsilon_0 m_e}{e^2} r^3

因此電子的公轉頻率是:

\nu = \frac1T = \frac e\pi(\pi\varepsilon_{0}m_e)^{-1/2}r^{-3/2} = \frac{4\varepsilon_0} {e^2}(\frac{2}{m_e})^{1/2}|E|^{3/2}\,

而根據電磁學,電磁輻射頻率是等於電子的公轉頻率。

但光譜中的輻射頻率並不等於電子的公轉頻率,所以波耳模型主要基於以下條件:

波耳模型的簡單示意圖。

定態條件[編輯]

原子只能夠穩定地存在於一系列的離散的能量狀態之中,稱為定態,原子要有任何能量的改變,都必須要在兩個定態之間以躍遷的方式進行;所以電子只能處在一系列分立的定態上,並且不產生電磁輻射。

頻率條件[編輯]

當兩個定態間的躍遷時,以電磁波的形式放出或吸收能量,其頻率的值為\nu\,是唯一的並且有:

h\nu = \Delta E = E_{n'} - E_n

結合芮得柏公式可以得到

E_n=-\frac{Rhc}{n^2}

代入電子能量的表達式可以得到電子運動的軌道半徑:

r_n=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{2Rhc}n^2


結果[編輯]

根據以上條件可以計算出,電子的能量

E_n=-\frac{m_e e^{4}}{8n^2 h^2 \varepsilon_0^2}=-\frac12m_e(\alpha c)^2\frac{1}{n^2}

其中α是精細結構常數,其大小約為1/137。 電子的軌道半徑:

r_n = n^2\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}

芮得柏常數:

R=\frac{2 \pi^2 m_e e^4}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 c h^{3}}

由波耳模型可以計算出幾個表徵原子常用的物理量: 電子的第一軌道半徑(n=1):

r_{1}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_e e^2}\simeq 0.053 nm

通常用a0表示,稱為波耳半徑

電子在第一個軌道上運動的速度(n=1):

v_{1}=\alpha c \simeq\frac{1}{137}c

稱為波耳第一速度,它表示電子在原子中的運動速度通常約為光速的1/137。

將氫原子的電子從基態移動到無限遠處所需要的能量,即氫原子的電離能

E_\infty = \frac12m_e(\alpha c)^2\simeq 13.6 eV

所以氫原子電子基態的能量約為-13.6eV。其餘各態的能量為:

E_n = -\frac{13.6 eV}{n^2}

波耳根據對應原理,結合芮得柏公式提出了角動量量子化條件:

L = m_e v r = \frac{nh}{2\pi} = n \hbar ,\qquad n=1,2,3\cdots

亦即是後期的波耳-索末菲作用量量子條件的前身:

J=\oint p\, dq =nh ,\qquad n=1,2,3\cdots

修正[編輯]

英國光譜學家福勒(A.Fowler)質疑:應用波耳模型計算出芮得柏常數的數值R=109 737.315\,\mathrm{cm}^{-1};而實驗值R=109 677.58\,\mathrm{cm}^{-1},二者相大約萬分之五。1914年,波耳提出,這是因為原來的模型假設原子核靜止不動而引起的。實際情況是,原子核的質量不是無窮大,它與電子繞共同的質心轉動。波耳對其理論進行了修正,用原子核和電子的折合質量\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}代替了電子質量。這樣的話,不同原子的芮得柏常數RA不同,

R_A = \frac{R}{1 + m_e/M}

電子到質心的距離仍為原來理論中的第一軌道半徑,與原子核的質量無關。

波耳模型的實驗驗證[編輯]

1897年,美國天文學家皮克林恆星弧矢增二十二的光譜中發現了一組獨特的線系,稱為皮克林線系。皮克林線系中有一些譜線靠近巴耳末線系,但又不完全重合,另外有一些譜線位於巴耳末線系兩臨近譜線之間。起初皮克林線系被認為是氫的譜線,然而波耳提出皮克林線系是類氫離子He+發出的譜線。隨後英國物理學家埃萬斯在實驗室中觀察了He+的光譜,證實波耳的判斷完全正確。

和波耳提出波耳模型幾乎同一時期,英國物理學家亨利·莫斯利測定了多種元素X射線標識譜線,發現它們具有確定的規律性,並得到了經驗公式——莫斯利定律。莫斯利看到波耳的論文,立刻發現這個經驗公式可以由波耳模型導出,為波耳模型提供了有力的證據。

1914年,詹姆斯·法蘭克古斯塔夫·赫茲進行了用電子轟擊蒸汽的實驗,即法蘭克-赫茲實驗。實驗結果顯示,汞原子內確實存在能量為4.9eV的量子態。1920年代,法蘭克和赫茲又繼續改進實驗裝置,發現了汞原子內部更多的量子態,有力地證實了波耳模型的正確性。

1932年尤雷(H.C.Urey)觀察到了氫的同位素的光譜,測量到了氘的芮得柏常數,和波耳模型的預言符合得很好。

波耳模型的推廣[編輯]

隨著光譜實驗水平的提高,人們發現了光譜具有精細結構。1896年,阿爾伯特·邁克生愛德華·莫立觀察到了氫光譜的Hα線是雙線,隨後又發現是三線。波耳提出這可能是電子在橢圓軌道上做慢進動引起的。1916年索末菲在波耳模型的基礎上將圓軌道推廣為橢圓形軌道,並且引入相對論修正,提出了索末菲模型。在考慮橢圓軌道和相對論修正後,索末菲計算出了Hα線的精細結構,與實驗相符。然而進一步的研究發現,這樣的解釋純屬巧合。Hα線的精細結構有7條,必須徹底拋棄電子軌道的概念才能完全解釋光譜的精細結構。

波耳模型的困難[編輯]

波耳模型將古典力學的規律應用於微觀的電子,不可避免地存在一系列困難。根據古典電動力學,做加速運動的電子會輻射出電磁波,致使能量不斷損失,而波耳模型無法解釋為什麼處於定態中的電子不發出電磁輻射。波耳模型對躍遷的過程描寫含糊。因此波耳模型提出後並不被物理學界所歡迎,還遭到了包括拉塞福薛丁格在內的諸多物理學家的質疑。波耳曾經的導師、劍橋大學約瑟夫·湯姆森拒絕對其發表評論。薛丁格甚至評價說是「糟透的躍遷」[4]

此外,波耳模型無法揭示氫原子光譜的強度和精細結構,也無法解釋稍微複雜一些的氦原子的光譜,以及更複雜原子的光譜。因此,波耳在領取1922年諾貝爾物理學獎時稱:「這一理論還是十分初步的,許多基本問題還有待解決。」

波耳模型引入了量子化的條件,但它仍然是一個「半古典半量子」的模型。完全解決原子光譜的問題必須徹底拋棄古典的軌道概念。儘管波耳模型遇到了諸多困難,然而它顯示出量子假說的生命力,為古典物理學向量子物理學發展鋪平了道路。

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ Niels Bohr. On the Constitution of Atoms and Molecules. Phil.Mag. 26(1913)1.
  2. ^ Niels Bohr. Systems Containing Only a Single Nucleus. Phil.Mag. 26(1913)476.
  3. ^ Niels Bohr. Systems Containing Several Nuclei. Phil.Mag. 26(1913)857.
  4. ^ W.Heisenberg. Physics & Beyond. Harper & Row Pub. (1972)75.