底数 (进制)
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底数（radix， base）又称數基[1]、基數、基值、根值[2]、記數根[3]，是指进位制中用以乘每個數位而得有效值的數；如十進位數的底數為 10，而二進位數的底數為 2。底数（数基）属于记数系统所使用的一种數字表示符號。
在进位制系統中，若要表示一個數字的底數和值，會用(x)y表示，x是每一位數字組合成的字符串，y是底数，十進制是最常用的，因此會省略底數以及字符串前後的括號。例如(100)10也可以表示為100（後者省略其進制），表示一百，而(100)2（底數為2，是二進制）表示數字4[4]。
進位制和底數
以13進制的系統為例，398表示的數字是（十進制下的）3 × 132 + 9 × 131 + 8 × 130 = 632。
若是在b進制（b > 1）下，各位數數字是d1 … dn的數，其值為 d1bn−1 + d2bn−2 + … + dnb0，其中 0 ≤ di < b.[4]。在十進制中，有個位數、十位數、百位數……等，而在b進制中，有個位數、b1位數、b2位數……等[5]。
常用的進制系統有：
| 底數 | 名稱 | 描述 |
|---|---|---|
| 2 | 二进制 | 是絕大多數电子计算机中使用的進制。二個數字分別是"0"和"1"，可以以用開關關閉或開啟來表示。大部份的電子计数器都使用二進制。 |
| 8 | 八进制 | 有時會在運算時使用。八個數字分別是"0"–"7"，表示三個位元（23）。 |
| 10 | 十进制 | 全世界最常使用的進制系統，一般運算也是用十進制來表示。十個數字分別是"0"–"9"。用在大部份的機械計數器上。 |
| 12 | 十二进制 | 因為底數可以被2、3、4和6整除，有些情形上使用很方便。傳統上有些數量用打或籮表示的，即使用了十二进制。 |
| 16 | 十六进制 | 十六进制可以用比較簡潔的方式表示二進制（十六進制的一個數字代表二進制的四個位元），常用在電腦中。十個數字分別是"0"–"9"，以及"A"–"F"（或"a"–"f"）。 |
| 20 | 二十进制 | 有些文化傳統上會使用二十進制，有些文化在計數時仍會用到，有些會用score表示20。 |
| 60 | 六十進制 | 源起於古苏美尔，後來傳到巴比倫尼亞[6]。現今表示角度的度分秒系統，以及表示时间的時分秒系統都有使用六十進制。 |
二進制的數字可以輕鬆的轉換為八進制和十六進制的數字，而且數字長度較短。十六進制的一個數字表示二進制的四位數字。例如十六進制的7816，在二進制下是11110002。而八進制的一個數字也可以表示二進制的三位數字。
正整數在特定進制下的表示法是唯一的。令b大於一的正整數，則每一個正整數a都可以以以下形式表示，而且不會和其他的正整數重覆：
其中m是非負整數，r是整數，使得
- 0 < rm < b and 0 ≤ ri < b for i = 0, 1, ... , m − 1.[7]
底数多半是自然数，不過也有一些進制的底数不是整數，例如黄金进制（底数是非整數的代數數[8]）、負底數（底数為負）[9]。 負底數可以在不使用負號的情形下表示負數。例如，若b = −10，則該進制下的19對應十進制下的1 × (−10)1 + 9 × (−10)0 = −1。
廣義的底數
底數亦可以解釋為進位制系統進位的時機，當底數為b時，則該进制每逢b則進位一次。例如十进制底數為10，故數字每逢十就進位一次，也就是說9的下一個數將會進位到十位數，又例如八进制底數為8，故7的下一個數則逢8，進位成10(8)。
此定義可以將底數推廣到非整數进制中，例如黃金进制底數為黃金比例，故黃金比例這個數在黃金进制中表達為10，因為已「逢黃金比例」因此進位到第二位數。
相關條目
註解
- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 存档副本. [2023-07-09]. （原始内容存档于2023-07-09）.
- ^ 4.0 4.1 Mano, M. Morris; Kime, Charles. Logic and Computer Design Fundamentals 4th. Harlow: Pearson. 2014: 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
- ^ Binary: How Do Computers Talk? | Experimonkey. experimonkey.com. [2018-12-02].[失效連結]
- ^ Bertman, Stephen. Handbook to Life in Ancient Mesopotamia Paperback. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. 2005: 257 [2021-08-13]. ISBN 978-019-518364-1. （原始内容存档于2021-08-13）.
- ^ McCoy (1968，第75頁)
- ^ Bergman, George. A Number System with an Irrational Base. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 98–110. JSTOR 3029218. doi:10.2307/3029218.
- ^ William J. Gilbert. Negative Based Number Systems (PDF). Mathematics Magazine. September 1979, 52 (4): 240–244 [7 February 2015]. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. （原始内容存档 (PDF)于2013-11-26）.
參考資料
- McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68015225
外部連結
- Base Convert, a floating-point base calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- MathWorld entry on base （页面存档备份，存于互联网档案馆）