斜埃尔米特矩阵

如方块矩阵A的共轭转置A^*也是其负数，则A是斜厄米矩阵或反厄米矩阵（英语：skew-Hermitian matrix、anti-Hermitian matrix）：

A^* = −A

或者，如A = (a_i,j)：

$a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}$

对于所有i和j。

例子

例如，以下矩阵便是斜厄米矩阵：

${\begin{bmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{bmatrix}}$

性质

• 斜厄米矩阵的特征值全是纯虚数。更进一步，斜厄米矩阵都是正规矩阵。因此它们可对角化，它们不同的特征向量一定是正交。
• 斜厄米矩阵主对角线所有元素都一定是纯虚数。
• 如果A是斜厄米矩阵，那iA是厄米矩阵。
• 如果A，B是斜厄米矩阵，那么对于所有实数a，b，aA + bB也一定是斜厄米矩阵。
• 如果A是斜厄米矩阵，那么对于所有正整数k，A^2k都是厄米矩阵。
• 如果A是斜厄米矩阵，那A的奇数次方也是斜厄米矩阵。
• 如果A是斜厄米矩阵，那e^A是酉矩阵。
• 矩阵与其共轭转置之差（$C-C^{*}$）是斜厄米矩阵。
• 任意方块矩阵C都可以写成厄米矩阵A与斜厄米矩阵B之和：

$C=A+B\quad$，$\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad$，$\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*})$ 。

参见

• 斜对称矩阵
• 厄米矩阵
• 正规矩阵
• 酉矩阵