立方体堆砌

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提示:本条目的主题不是立方体堆叠
立方体堆砌
立方蜂巢体
Partial cubic honeycomb.png
Cubic honeycomb.png
线架图
类型 正堆砌
家族 立方形堆砌
维度 3
{4,3} Hexahedron.png
棱处相交胞:4×{4,3}
顶点处相交胞:8×{4,3}
{4} Kvadrato.svg
棱处相交面:4×{4}
顶点处相交面:12×{4}

顶点处相交棱:6
顶点图 Cubic honeycomb verf.png
正八面体
施莱夫利符号 {4,3,4}
欧拉示性数 0
考克斯特记号英语Coxeter–Dynkin_diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
类比 正方形镶嵌
参考索引[1] J11,15, A1
W1, G22
对称群
空间群 Pm3m
考克斯特群 , [4,3,4]
考克斯特记号 [4,3,4]
纤维流形 4:2
对偶多胞体 自身对偶
特性 顶点正英语vertex-transitive

立方体堆砌(Cubic Honeycomb)[2]三维空间内唯一的正密铺,也是28个半正密铺之一,由立方体堆砌而成,其缩写为chon[3]。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体,因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°,因此总能独自完成超平面密铺,这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”,具有对称性,有施莱夫利符号形式{4,3,……,3,4}。

笛卡尔坐标[编辑]

顶点的笛卡尔坐标为:

(i, j, k)
对所有的i,j,k皆为立方体边长整数

因此边长为1立方体堆砌也可以视为空间中的座标网格。

对称性[编辑]

作为立方形堆砌家族其中一员,立方体堆砌有对称性,有施莱夫利符号{4,3,4},考克斯特符号CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png,除此之外,作为一个空间堆砌,它有Pm3m空间平移对称性。

而然,立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌,它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表:

名称 考克斯特标记
空间群
考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram 施莱夫利符号 有限部
分图像
颜色组合
(字母表示)
立方体堆砌 [4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3,4} Partial cubic honeycomb.png 1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方体堆砌
[4,31,1]
Fm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png {4,31,1} Bicolor cubic honeycomb.png 2: abba/baab
截面立方体
堆砌
[4,3,4]
Pm3m
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png t0,3{4,3,4} Runcinated cubic honeycomb.png 4: abbc/bccd
正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png {4,4}×t{∞} Square prismatic honeycomb.png 2: aaaa/bbbb
截棱正四棱柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t1{4,4}×{∞} Square prismatic 2-color honeycomb.png 2: abba/abba
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png t{∞}×t{∞}×{∞} Square 4-color prismatic honeycomb.png 4: abcd/abcd
无穷次无穷次
无穷边形
[∞,2,∞,2,∞] CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png t{∞}×t{∞}×t{∞} Cubic 8-color honeycomb.png 8: abcd/efgh

相关堆砌[编辑]

立方体堆砌是平面正方形镶嵌{4,4}在三维空间的类比,他们的形式皆为{4,3,...,3,4},为立方形堆砌家族的一部份,在这个家庭的镶嵌都是自身对偶。他也是28种由凸均匀多面体组成的均匀镶嵌之一。

自然界中的立方体堆砌[编辑]

氯化钠(NaCl)的晶体结构:面心立方晶格

作为少有的三维半正堆砌,自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构,在固体物理学中被称为“立方晶系”,许多固体化合物,如氯化钠硫化锌氯化亚铜萤石三氧化铼金属单质,如等,都具有这种晶系的结构。

简单立方晶格[编辑]

简单立方晶格可以被扭曲成较低的对称性,通过较低的晶系代表:

晶系 单斜
三斜
正交 四方 三方 立方

单位晶格
平行六面体 长方体 三方
偏方面体
正方体
点群

旋转对称群
[ ], (*)
Order 2
[ ]+, (1)
[2,2], (*222)
Order 8
[2,2]+, (222)
[4,2], (*422)
Order 16
[4,2]+, (422)
[3], (*33)
Order 6
[3]+, (33)
[4,3], (*432)
Order 48
[4,3]+, (432)
图示 Monoclinic.svg Orthorhombic.svg Tetragonal.svg Rhombohedral.svg Cubic.svg
空间群
旋转对称群
Pm (6)
P1 (1)
Pmmm (47)
P222 (16)
P4/mmm (123)
P422 (89)
R3m (160)
R3 (146)
Pm3m (221)
P432 (207)
考克斯特式 - [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a
考克斯特符号英语Coxeter diagram - CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png - CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

相关多面体和镶嵌[编辑]

立方体堆砌与四维超正方体施莱夫利符号{4,3,3}相似,但超正方体只存在四维空间,且每个边的周为只有三个正方体而立方体堆砌有四个。此外,也可以有每个边的周为有五个正方体,他称为五阶立方体堆砌,存在于双曲空间,施莱夫利符号为{4,3,5}。

{p,3,4}
空间 S3 E3 H3英语雙曲空間
来源 有限 仿射 紧凑 仿紧 非紧
施式 {3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png
{5,3,4}英语order-4 dodecahedral honeycomb
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{6,3,4}英语order-4 hexagonal tiling honeycomb
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node.pngCDel ultra.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.pngCDel uaub.pngCDel nodes.png
{7,3,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
{8,3,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
... {∞,3,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
图像 Stereographic polytope 16cell.png Cubic honeycomb.png H3 534 CC center.png H3 634 FC boundary.png
Tetrahedron.png
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Hexahedron.png
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Dodecahedron.png
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 237-1.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 238-1.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

考克斯特群[4,3,4]、CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png产生15个排列均匀的镶嵌中,9个具有独特的的几何形状,包括交替立方体堆砌、扩展立方堆砌是几何上相同的立方体堆砌。

空间群 纤维流形 扩展
对称群
扩展
标记
蜂巢体
(堆砌)
Pm3m
(221)
4:2 [4,3,4] CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c4.png ×1 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 1, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 2, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 4,
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 5, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 6
Fm3m
(225)
2:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1]
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.png
Half CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 7, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png 11, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 12, CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 13
I43m
(217)
4o:2 [[(4,3,4,2+)]] CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png Half × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes hh.png (7),
Fd3m
(227)
2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]]
CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png
CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
Quarter × 2 CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes h1h1.png 10,
Im3m
(229)
8o:2 [[4,3,4]] CDel branch c2.pngCDel 4a4b.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel branch.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png (1), CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png 8, CDel branch 11.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes 11.png 9

考克斯特群[4,31,1], CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, 考克斯特群产生 9个排列均匀的镶嵌中,其中4个具有独特的的几何形状,包括交替立方体堆砌。

空间群 纤维流形 扩展
对称群
扩展
标记
蜂巢体
(堆砌)
Fm3m
(225)
2:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+]
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
CDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×1 CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 1, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 2, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 3, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png 4
Fm3m
(225)
2:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]>
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node.png
×2 CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png (1), CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (3)
Pm3m
(221)
4:2 <[4,31,1]> CDel node c3.pngCDel 4.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png ×2

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 5, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 6, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png 7, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png (6), CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 9, CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 10, CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png 11

立方体堆砌是考克斯特群中的五个结构特别的均匀堆砌[4]之一,其对称性可以乘以环在考克斯特-迪肯符号的对称性:

空间群 纤维流形 方形
对称群
扩展
对称群
扩展
标记
扩展
蜂巢体
(堆砌)
F43m
(216)
1o:2 a1 [3[4]] CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png ×1 (None)
Fd3m
(227)
2+:2 p2 [[3[4]]] CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h1.png
×2 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png 3
Fm3m
(225)
2:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1]
CDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png
×2 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node.png 1,CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10luru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png 2
Pm3m
(221)
4:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4]
CDel node c1.pngCDel split1.pngCDel nodeab c2.pngCDel split2.pngCDel node c1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 4.pngCDel node.png
×4 CDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.png 4
Im3m
(229)
8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]]
CDel branch c1.pngCDel 3ab.pngCDel branch c1.png
CDel branch c1.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png
×8 CDel branch 11.pngCDel 3ab.pngCDel branch 11.png 5, CDel branch hh.pngCDel 3ab.pngCDel branch hh.png (*)

参考[编辑]

  1. ^
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  3. ^ Richard Klitzing, chon [2014-04-27]
  4. ^ [1], A000029 6-1 cases, skipping one with zero marks
  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表)
  • Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
    • (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Richard Klitzing, 3D Euclidean Honeycombs, x4o3o4o - chon - O1
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon