在數學中,三角多項式是一類基於三角函數的函數的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函數sin(nx) 和餘弦函數cos(nx) 的和的函數,其中的x 是變量,而n 是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話,那麼這個三角多項式是一個傅里葉級數。
三角多項式在許多數學分支,如數學分析和數值分析中都有應用,例如在傅里葉分析中,三角多項式被用於傅里葉級數的表示,在三角插值法中,三角多項式被用於逼近周期性函數。
三角多項式一般可以寫成
一個函數T如果能夠寫成:
![{\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\mathrm {i} \sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1ecd9cb30e2a470fad93bea39c91c673a0b2e6)
的形式,其中對於所有的
,an 和 bn都是複數,那麼就稱其為N階復三角多項式[1][2]。運用歐拉公式,這個函數可以寫為:
![{\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} nx}\qquad (x\in \mathbf {R} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ff32e752fc88ed945e924fe8d436254c5afdb7)
同樣地,如果對於所有的
,an 和bn都是實數的話,那麼函數t
![{\displaystyle t(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\in \mathbf {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748ef57021b42ba59c7f002ce88ac77d30da83af)
就被稱N階實三角多項式[2]。
是關於
的n 次多項式。
![{\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2460f206d6dd8c7b96e9fde53e3517e170a7ec25)
實際上,這種多項式稱為第一類切比雪夫多項式。同樣地,
也是關於
和
的n 次多項式,稱為第二類切比雪夫多項式。
![{\displaystyle \sin(\theta )U_{n}(\cos(\theta ))=\sin((n+1)\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c698261a0cef9e5b6ded2306b5ff552401b3be)
因此,一個三角多項式實際上也可以認為是關於三角函數
和
的多項式。
三角多項式都是周期為
的周期函數。同時,任何連續的周期函數都可以藉助於三角多項逼近到任意接近的程度。
- ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR924157
- ^ 2.0 2.1 Powell, Michael J. D., Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981, ISBN 978-0-521-29514-7