拉格朗日力學

拉格朗日力學（英語：Lagrangian mechanics）是分析力學中的一種，於1788年由約瑟夫·拉格朗日所創立。拉格朗日力學是對經典力學的一種的新的理論表述，着重於數學解析的方法，並運用最小作用量原理^[1]，是分析力學的重要組成部分。

經典力學最初的表述形式由牛頓建立，它着重於分析位移，速度，加速度，力等矢量間的關係，又稱為矢量力學。拉格朗日引入了廣義坐標的概念，又運用達朗貝爾原理，求得與牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。不僅如此，拉格朗日方程具有更普遍的意義，適用範圍更廣泛。還有，選取恰當的廣義坐標，可以大大地簡化拉格朗日方程的求解過程。

自由度[編輯]

力學系統可以由一組坐標來描述。例如，一個質點的運動（在笛卡爾坐標系中）由x、y、z三個坐標來描述。一般而言， $N$ 個質點組成的力學系統由 $3N$ 個坐標來描述。力學系統中常常存在着各種約束，使得這 $3N$ 個坐標並不都是獨立的。力學系統的獨立坐標的個數稱之為自由度。對於 $N$ 個質點組成的力學系統，若存在 $m$ 個約束，則系統的自由度為

S=3N-m

。

廣義坐標[編輯]

在矢量力學中，約束的存在體現在作用於系統的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為複雜。但若能選取適當的 $s$ 個完全滿足約束條件的獨立坐標，則約束不再出現在問題中，只需要求解關於 $s$ 個未知變量的方程，使問題得以大大簡化。而如果運用牛頓力學來解約束問題，通常約束越多，需要求解的方程個數就越多，反而增加了一定的難度。這樣的 $s$ 個坐標不再局限於各質點的位置坐標，而可以是任何能描述系統的幾何參量，因此稱為「廣義坐標」。

拉格朗日量[編輯]

拉格朗日力學的一個基本假設是：具有 $n$ 個自由度的系統，其運動狀態完全由 $n$ 個廣義坐標及廣義速度決定。或者說，力學系統的運動狀態由一個廣義坐標和廣義速度的函數描述：

{\mathcal {L}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{n};\ {\dot {q_{1}}},\ {\dot {q_{2}}},\ \dots ,\ {\dot {q_{n}}},\ t)

。

這個函數稱為拉格朗日函數或拉格朗日量。

引入勢能函數 $V\!$ ^[2]。這時拉格朗日函數表示為：

{\mathcal {L}}=T-V

其中 $T\!$ 和 $V\!$ 分別是這個力學體系的動能和勢能。

拉格朗日方程[編輯]

拉格朗日力學中，運動方程由 $n$ 個二階微分方程（拉格朗日方程）給出：

{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} t}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {q_{i}}}}-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial q_{i}}=Q_{i}

；

其中 $Q_{i}$ 為 $q_{i}$ 所對應的非保守的廣義力。

拉格朗日方程的地位等同於牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。這個方式的解是經典解，在量子體系下，經典路徑將不再是唯一路徑。

拉格朗日力學的擴展[編輯]

哈密頓量 $H$ 可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到。哈密頓量是經典力學的另一種表述哈密頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數，而哈密頓量是相對應的餘切叢上的函數。哈密頓量在量子力學中到處出現（參看哈密頓算符 (量子力學)）。

1948年，費曼發明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經典力學的範圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

^ Goldstein, H. Classical Mechanics 3rd. Addison-Wesley. 2001: 35.
^ 陳世民. 理论力学简明教程. 高等教育出版社. : 185–186頁. ISBN 978-7-04-023918-8.

梁昆淼：《力學》
朗道：《力學》

[1] Goldstein, H. Classical Mechanics 3rd. Addison-Wesley. 2001: 35.

[2] 陳世民. 理论力学简明教程. 高等教育出版社. : 185–186頁. ISBN 978-7-04-023918-8.

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