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環同態

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環論抽象代數中,同態是指兩個環R與S之間的映射f保持兩個環的加法與乘法運算。

更加精確地,如果RS是環,則環同態是一個函數f : RS,使得:

  • f(a + b) = f(a) + f(b),對於R內的所有ab
  • f(ab) = f(a) f(b),對於R內的所有ab
  • f(1) = 1。

如果我們不要求環具有乘法單位元,則最後一個條件不需要。

性質

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直接從這些定義,我們可以推出:

  • f(0) = 0
  • f(−a) = −f(a)
  • 如果aR內具有乘法逆元,則f(a)在S內具有乘法逆元,且有f(a−1) = (f(a))−1
  • f,定義為ker(f) = {a in R : f(a) = 0},是R內的一個理想。每一個交換環R內的理想都可以從某個環同態用這種方法得出。對於具有單位元的環,環同態的核是一個沒有單位元的子環。
  • 環同態f是單射,當且僅當ker(f) = {0}。
  • f,im(f),是S的一個子環。
  • 如果f雙射,那麼它的逆映射f−1也是環同態。在這種情況下,f稱為同構。在環論的立場下,同構的環不能被區分。
  • 如果存在一個環同態f : RS,那麼S特徵整除R的特徵。這有時候可以用來證明在一定的環RS之間,不存在環同態RS
  • 如果R是一個,則f要麼是單射,要麼是零函數。(但是,如果f保持乘法單位元,則它不能是零函數)。
  • 如果RS都是,則im(f)是S的一個子域(如果f不是零函數)。
  • 如果RS是交換環,S沒有零因子,則ker(f)是R的一個素理想
  • 如果RS是交換環,S是一個域,且f是滿射,則ker(f)是R的一個最大理想
  • 對於每一個環R,都存在一個唯一的環同態ZR。這就是說,整數環是環範疇中的始對象

例子

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  • 函數f : ZZn,由f(a) = [a]n = a mod n定義,是一個滿射的環同態,它的核為nZ
  • n > 1時,不存在環同態ZnZ
  • 如果R[X]表示變量為X的所有實係數多項式的環,C表示複數域,則函數f : R[X] → C,由f(p) = p(i)定義(在多項式p中用虛數單位i來代替變量X),是一個滿射的環同態。f的核由R[X]內所有能被X2 + 1整除的多項式組成。.

環同態的種類

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  • 雙射的環同態稱為環同構
  • 定義域與值域相同的環同態稱為環自同態

在環範疇中,單射的環同態與單同態是相等的:如果f:RS是單同態而不是單射,則它把某個r1r2映射到S的同一個元素。考慮從Z[x]到R的兩個映射g1g2,分別把x映射到r1r2f o g1f o g2是相等的,但由於f是單同態,這是不可能的。

然而,在環範疇中,滿射的環同態與滿同態是非常不同的。例如,ZQ是滿同態,但不是滿射。

參見

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