1 + 2 + 3 + 4 + …

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橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸進線,其與縱軸相交的截距值為−112

無窮級數1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然數的和,是一個發散級數,其數學式也寫作

此級數前 n 項的部分和即是三角形數

儘管這個級數的和第一眼看起來不會有任何有意義的值,透過黎曼ζ函數正規化英語Zeta function regularization拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:

此結果在複分析量子力學弦理論等領域中有所應用。

部分和公式的證明[編輯]

前六個三角形數
海什木(Alhazen)的正整數和公式推導。

自然數從 1 加到 n 的和是 能用許多方法證明。首先令

我們將這些項重排反着寫:

將兩者相加,對應項相加,我們得到

ζ函數的求和與解析連續性[編輯]

s 的實部大於 1,s 次方的黎曼ζ函數等於求和 。當 s 的實部小於或等於 1 時和式發散,但當 s = −1 時 由 ζ(s) 的解析延拓給出 ζ(−1) 為

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉馬努金另外給其定義,其拉馬努金和[1]

物理[編輯]

玻色弦理論中,我們想算出一個弦的可能的能量級,特別是最低能量級。非正式地說,每一個弦的諧波可以視為 一組 無關量子諧振子,這裏 是時空的維數。如果基本振子頻率是 則一個振子對 級諧波的貢獻是 。所以利用發散級數我們發現在所有諧波上求和是 。最後這確實是正確的,與Goddard–Thorn theorem英語no-ghost theorem一起,導致波色弦理論在維數不為 26 時是一致的。

一個類似的計算是計算卡西米爾力

歷史[編輯]

拉馬努金寫給戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期為1913年2月27日):

「親愛的先生,我很感激地讀到你1913年2月8日的信。我等待您的答覆,類似於一個倫敦的數學教授寫信要我仔細研究布羅米奇英語Thomas John l'Anson Bromwich的「無窮級數」而不要陷入發散級數的陷阱。……我告訴他,在我的理論中一個無窮數列 。如果我告訴你這個,你肯定會勸我進精神病收容院。我向你細說此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所寫的行數,你不可能找出我證明的方法。」[2]

注釋[編輯]

  1. ^ Hardy p.333
  2. ^ Berndt et al p.53. "Bromwich" 處連結為編輯所加並作了一些版式改動。

引用[編輯]

延伸閱讀[編輯]

外部連結[編輯]