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SL2(ℝ)

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群論


數學中,特殊線性群SL₂(ℝ) 是行列式為 1 的 2×2矩陣組成的群:

,且 

它是一個三維李群,在幾何拓撲表示論物理中有重要應用.

與 SL₂(ℝ) 密切相關的是射影線性群PSL₂(ℝ)。這是將 SL₂(ℝ) 中每個元素與它的負元素等同得到的

一些作者將這個群記做 SL(2,ℝ).這是一個單李群,包含模群PSL₂(ℤ)

描述

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SL2() 是 2 上所有保持定向面積線性變換群。它同構辛群 Sp2() 以及廣義特殊酉群 SU(1,1)。它也同構於單位長共四元數群。

商 PSL2() 有多個有趣的描述:

線性分式變換

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PSL2() 的元素做為線性分式變換作用在實射影直線 上:

這類似於 PSL2() 通過莫比烏斯變換黎曼球面上的作用。這是 PSL2() 在雙曲平面上的作用限制到無窮遠邊界。

莫比烏斯變換

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PSL2() 中的元素通過莫比烏斯變換作用在複平面上:

這裏

這正好是保持上半平面的莫比烏斯變換集合。從而 PSL2() 是上半平面的共形自同構群。由黎曼映射定理,它也是單位圓盤的共形自同構群。

這些莫比烏斯變換是雙曲空間上半平面模型的等距,而圓盤相應的莫比烏斯變換是龐加萊圓盤模型的雙曲等距。

伴隨表示

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群 SL2() 通過共軛作用在它的李代數 SL2() 上,導致 PSL2() 的一個忠實 3 維線性表示。這也可以描述為 PSL₂(ℝ) 作用在 ℝ² 上的二次型上。結果是如下表示

sl2() 上的基靈型符號 (2,1),誘導了 PSL2() 與洛倫茲群 SO+(2,1) 之間一個同構。PSL2() 在閔可夫斯基空間上的作用限制成 PSL2() 在雙曲空間的雙曲面模型上的等距。

元素的分類

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SL2() 中一個元素 A本徵值滿足特徵多項式

從而

這導致了如下元素分類:

  • 如果 | tr(A) | < 2,則 A 稱為橢圓型
  • 如果 | tr(A) | = 2,則 A 稱為拋物型
  • 如果 | tr(A) | > 2,則 A 稱為雙曲型

橢圓型元素

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橢圓型元素的本徵值都是複數,是單位圓周上的共軛值。這樣的元素的作用是歐幾里得空間中的旋轉,相應的 PSL2() 元素之作用是雙曲平面與閔可夫斯基空間的旋轉。

模群的橢圓型元素的本徵值一定為 {ω, 1/ω} 形式,其中 ω 是一個本原3次、4次、或6次單位根。他們是模群中所有有限元素,他們作用在環面上是周期性微分同胚。

拋物型元素

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拋物型元素只有一個本徵值,1 或者 -1。這樣的元素作用在歐幾里得平面上是錯切映射,相應 PSL2() 中元素作用在雙曲平面上是極限旋轉limit rotation),在閔可夫斯基空間上的作用是零旋轉

模群的拋物型元素作用在環面上是德恩扭轉Dehn twist英語Dehn twist)。

雙曲型元素

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雙曲型元素的本徵值都是實數,互為倒數。這樣一個元素作用在歐幾里得空間上是擠壓映射squeeze mapping英語squeeze mapping),相應的 PSL2() 元素作用在雙曲平面是平移,在閔可夫斯基空間上的作用是洛倫茲遞升

模群的雙曲型元素作用在環面上是阿諾索夫微分同胚Anosov diffeomorphism英語Anosov diffeomorphism)。

拓撲和萬有覆蓋

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做為一個拓撲空間,PSL2(R) 可以描述為雙曲平面的單位切叢,這是一個圓叢,有由雙曲平面上辛結構誘導的自然切觸結構。SL2(R) 是 PSL2(R) 的二重覆蓋,可以認為是雙曲平面上的旋量叢

SL2(R) 的基本群是無限循環群 。其萬有覆蓋群記做 ,是一個有限維李群但不是矩陣群。即 沒有忠實有限維表示

做為一個拓撲空間, 是雙曲平面上一個線叢。若賦予一個左不變度量3-流形 成為瑟斯頓八幾何之一。例如, 是任何雙曲曲面的單位切叢的萬有覆蓋。任何以 為模型的流形是可定向的,也是一個二維雙曲軌形上的圓叢(一個塞弗特纖維空間Seifert fiber space英語Seifert fiber space))。

代數結構

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SL2() 的中心是兩個元素的群 {-1,1}, PSL2() 是單群

PSL2() 的離散子群稱為富克斯群Fuchsian group英語Fuchsian group)。他們是歐幾里得壁紙群wallpaper group英語wallpaper group)和飾帶群Frieze group英語Frieze group)的雙曲類比。最有名的是模群 PSL2(),它作用在雙曲平面由理想三角形形成的嵌圖上。

圓群SO(2)是 SL2() 的一個極大緊子群,圓 SO(2)/{-1,+1} 是 PSL2() 的一個極大緊子群。

PSL2() 的舒爾乘子Schur multiplier英語Schur multiplier)是 ,萬有中心擴張與萬有覆蓋群相同。

表示理論

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SL2() 是一個實非緊單李群,也是復李群 SL2() 的分裂實形式。SL2() 的李代數記做 sl2(),是所有跡為零的 2×2 實矩陣。 它是 VIII 型比安基代數

SL2() 的有限維表示理論等價於SU(2)的表示理論,這是 SL2() 的緊實形式。特別地 SL2() 沒有非平凡有限維酉表示

SL2() 的無限維表示理論相當有意思。這個群有多類酉表示,這被蓋爾范德奈馬克 (1946)、巴格曼 (1947)、Harish-Chandra (1952) 詳細地解決了。

另見

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參考文獻

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  • V. Bargmann, Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group,The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 48, No. 3 (Jul., 1947), pp. 568-640
  • Gelfand, I.; Neumark, M. Unitary representations of the Lorentz group. Acad. Sci. USSR. J. Phys. 10, (1946), pp. 93--94
  • Harish-Chandra, Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 38 (1952), pp. 337--342
  • Serge Lang, SL2(R). Graduate Texts in Mathematics, 105. Springer-Verlag, New York, 1985. ISBN 0-387-96198-4
  • William Thurston. Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. ISBN 0-691-08304-5