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冪零矩陣

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線性代數
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冪零矩陣(英語:nilpotent matrix)是一個n×n方塊矩陣M,滿足以下等式:

對於某個正整數q。類似地冪零轉換是一個線性轉換L,滿足對於某個整數q

冪零矩陣是冪零元素──一個更加一般的概念的特殊情況,不僅可以應用於矩陣和線性轉換,也可以應用於環的元素。

例子

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考慮以下的矩陣:

這是一個4×4的冪零矩陣的例子(實際上,這種形式的矩陣稱為轉移矩陣)。注意非零的超對角線。這個矩陣的特徵為:

超對角線不斷向右上角「移動」,直到完全消失,得到零矩陣

對應的冪零轉換L : R4R4由下式定義:

有一個分類定理證明這是典型的:冪零矩陣與分塊矩陣相似的,其對角線上的區塊推廣了這種類型,而其它區塊為零。

性質

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Mn×n的冪零矩陣。

  • 滿足Mq = 0的最小整數q小於或等於n
  • 在代數封閉體上,矩陣M是冪零的,當且僅當它的所有特徵值為零。因此,M行列式都為零,所以冪零矩陣必為奇異方陣
  • 假設AB是兩個矩陣。如果A是可逆矩陣,則是冪零矩陣,當且僅當t無關。這是因為:
其中的特徵值。

分類定理

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以上的例子是典型的,這是因為以下的結果。每一個冪零矩陣都與以下的分塊矩陣相似:

其中區塊在超對角線上為一,在其它地方為零:

這可以從若爾當標準形,以及每一個與冪零矩陣相似的矩陣也是冪零的事實推出。

參考文獻

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  1. ^ R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3

外部連結

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