X²+1質數

x²+1質數問題是一個未解決的數學問題，其陳述為：是否有無窮個正整數x，使得x²+1為質數？

這個問題得到許多數論學者的關注。有學者認為這個問題比孿生質數猜想更加困難，因為在正整數中，形如x²+1的數比p+2稀少，所以x²+1為質數的概率更小。

10000以內的x²+1質數為（ A002496）：2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

歷史

在1912年的國際數學家大會上，愛德蒙·蘭道就質數理論的發展和黎曼ζ函數作演說，當中他提到有四個關於質數的問題，是「以目前的科學狀況無法攻克」的。第四個問題便是：「函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數？」

推論

更一般地，設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數。可以證明，若f(x)能取無窮多次的質數值，那麼a, b, c須符合以下條件：

1. a, b, c的最大公因數為1
2. a+b和c不能都是偶數
3. b²-4ac不是完全平方數

一個廣義化的猜想便是，若a為正數且a, b, c符合上述3個條件，那麼f(x)便能取無窮多次的質數值（見布尼亞科夫斯基猜想）。

進展

1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜測：

$\#\left(\{n:n=k^{2}+1\,{\text{and}}\,n<x\}\cap \mathbb {P} \right)\sim \prod _{p>2 \atop {p\in \mathbb {P} }}\left[1-{\frac {1}{p-1}}\left({\frac {-1}{p}}\right)\right]{\frac {\sqrt {x}}{\ln x}}$

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理，存在無窮多個形如$a^{2}+b^{4}$的質數。

在1978年，亨里克·伊萬涅茨證明了存在無窮多個x，使得$x^{2}+1$至多是兩個質數的積。

X²+1合數與佩爾方程

由於問題的困難，人們開始關注X²+1合數，企圖從X²+1合數的蛛絲馬跡中尋找X²+1質數。發現許許多多X²+1合數有平方因子

例如：18²+1=325=5²×13；32²+1=1025=5²×41；38²+1=1445=5×17²；68²+1=4625=5³×37；70²+1=4901=13²×29；....。

這是一個佩爾方程形式：

$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$

38²-5×17²=-1；70²-29×13²=-1。

參考文獻

• Kaisa Matomäki, Approaches to primes of the form aq² + 1 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Department of Mathematics, University of London, 2008. section 1.
• Problems & Puzzles: Conjectures, Conjecture 5: Are there infinitely many primes of the form n²+1?. primepuzzles.net. [2012-04-20]. （原始內容存檔於2018-10-19）. 
• Stephan Baier, Liangyi Zhao. ON PRIMES REPRESENTED BY QUADRATIC POLYNOMIALS (PDF). Anatomy of Integers, CRM Proc. & Lecture Notes: 166 – 169. 

參見

• 質數判定法則
• 蘭道問題
• 布尼亞科夫斯基猜想
• 欣策爾假設H