电位移

在电磁学里，电位移(Electric Displacement field)是出现于麦克斯韦方程组的一种矢量场，可以用来解释介电质内自由电荷所产生的效应。电位移$\mathbf {D}$以方程定义为

$\mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$；

其中，$\varepsilon _{0}$是电常数，$\mathbf {E}$是电场，$\mathbf {P}$是电极化强度。

概述

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度$\rho _{total}$除以电常数：

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}$。

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度$-\rho _{bound}$：

$\nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}$。

而总电荷密度等于束缚电荷密度加上自由电荷密度$\rho _{free}$：

$\rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}$。

所以，电位移的散度等于自由电荷密度$\rho _{free}$：

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}$。

这与高斯定律的方程类似。假设，只给定自由电荷密度$\rho _{free}$，或许可以用高斯方法来计算电位移$\mathbf {D}$。但是，在这里，不能使用这方法。只知道自由电荷密度$\rho _{free}$，有时候仍旧无法计算出电位移。思考以下关系式：

$\nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )$。

并根据法拉第感应定律：$\nabla \times \mathbf {E} =-{\dot {\mathbf {B} }}$ , 其中${\dot {\mathbf {B} }}$是磁场相对于时间的变化率

$\nabla \times \mathbf {D} +\varepsilon _{0}{\dot {\mathbf {B} }}=\nabla \times \mathbf {P}$

假设电磁场为不含时变电磁场（即与时间无关的电磁场），${\dot {\mathbf {B} }}=0$，则

$\nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P}$。

假若$\nabla \times \mathbf {P} \neq 0$，则虽然设定$\rho _{free}=0$，电位移仍旧不等于零：$\mathbf {D} \neq 0$！

举例而言，拥有固定电极化强度$\mathbf {P}$的永电体，其内部不含有任何自由电荷，但是内在的电极化强度$\mathbf {P}$会产生电场。

只有当问题本身具有某种对称性，像球对称性或圆柱对称性等等，才能够直接使用高斯方法，从自由电荷密度计算出电位移与电场。否则，必需将电极化强度$\mathbf {P}$和边界条件纳入考量。

线性电介质

“线性电介质”，对于外电场的施加，会产生线性响应。例如，铁电材料是非线性电介质。假设线性电介质具有各向同性，则其电场与电极化强度的关系式为

$\mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$；

其中，$\chi _{e}$是电极化率。

将这关系式代入电位移的定义式，可以得到

$\mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E}$；

其中，$\varepsilon$是电容率。

所以，电位移与电场成正比；其比率是电容率。另外，

$\nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}$。

假设这电介质具有均匀性，则电容率$\varepsilon$是常数：

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon$。

定义相对电容率$\varepsilon _{r}$为

$\varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}$。

相对电容率与电极化率有以下的关系：

$\varepsilon _{r}=1+\chi _{e}$。

要注意的一点是，上式$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$的描述只是一种近似关系，当$\mathbf {E}$变得很大时，$\mathbf {D}$与$\mathbf {E}$就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向异性线性电介质的电容率是个张量。例如，晶体的电容率通常必需用张量来表示。

应用范例

平行板电容器的两片平板导体分别含有的正负自由电荷，会产生电位移。借着一个扁长方形盒子，可以用高斯定律来解释电位移与自由电荷的关系。

如右图所示，平行板电容器是由互相平行、以空间或电介质相隔的两片平板导体构成的电容器。假设上下两片平板导体分别含有负电荷与正电荷，含有的电荷量分别为$-Q$、$+Q$。又假设两片平板导体之间的间隔距离超小于平板的长度与宽度，则可以视这两片平板导体为无限平面；做简单计算时，不必顾虑边缘效应。由于系统的对称性，可以应用高斯定律来计算电位移，其方向必定是从带正电平板导体指向带负电平板导体，而且垂直于平板导体；又由于平板导体含有的电荷是自由电荷，不需要知道电介质的性质，就可以应用关于自由电荷的高斯定律来计算电位移。

先计算带正电平板导体所产生的电位移。试想一个扁长方形盒子，其顶面和底面分别在这平板导体的两边，平行于平板导体；而盒子的其它四个侧面都垂直于平板导体。根据关于自由电荷的高斯定律，

$\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q$；

其中，$\mathbb {S}$是扁长方形盒子的闭合表面，$\mathbf {D} _{+}$是带正电平板导体所产生的电位移，$d\mathbf {a}$是微小面元素。

由于扁长方形盒子的四个侧面的面矢量都与$\mathbf {D} _{+}$矢量相垂直，它们对于积分的贡献是零；只有盒子的顶面和底面对于积分有贡献：

$2D_{+}A=Q$ ;

其中，$A$是盒子顶面、底面的面积。

所以，$\mathbf {D} _{+}$矢量的方向是从带正电平板导体垂直地向外指出，大小为

$D_{+}=Q/2A$。

类似地，可以计算出带负电平板导体所产生的电位移；$\mathbf {D} _{-}$矢量的方向是垂直地指向带负电平板导体，大小为

$D_{-}=Q/2A$。

应用叠加原理，可以计算这两片带电平板导体一起产生的电位移。在这两片平板导体之间，$\mathbf {D} _{+}$和$\mathbf {D} _{-}$的方向相同；应用叠加原理，电位移的大小等于平板导体的表面电荷密度：$D=Q/A$。在两片平板导体的共同上方或共同下方，$\mathbf {D} _{+}$和$\mathbf {D} _{-}$的方向相反；应用叠加原理，电位移的大小等于零。

假设电介质的电容率为$\varepsilon$，则在两片平板导体之间，电场的大小为

$E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A$。

假设两片平板导体的间隔距离为$d$，则电压$V$为

$V=Ed=Qd/\varepsilon A$。

这平行板电容器的电容$C$为

$C=Q/V=\varepsilon A/d$。

参阅

• 《论法拉第力线》
• 《论物理力线》
• 位移电流
• 电磁波方程