本页使用了标题或全文手工转换

转动惯量

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
走钢丝者手里端着长杆,为了靠转动惯量保持平衡,对抗转动运动。图为撒姆尔·迪克森(Samuel Dixon)于1890年穿过尼加拉河的相片。

在经典力学中,转动惯量又称惯性矩英语:Moment of inertia),通常以[1]表示,国际单位制为[kg]·[m2]。转动惯量是一个物体对于其旋转运动的惯性大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定了对于这物体绕着这转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。转动惯量在转动动力学中的角色相当于线性动力学中的质量,描述角动量角速度力矩角加速度等数个量之间的关系。

定义[编辑]

飞轮拥有很大的转动惯量,可以用来使机械运转顺滑。

对于一个质点,其中是其质量是质点和转轴的垂直距离。

对于一个有多个质点的系统,

对于刚体,可以用无限个质点的转动惯量和,即用积分计算其转动惯量,,其中是密度,是微量体积。

相关概念[编辑]

定轴转动动力学方程[编辑]

在直线运动,。在旋转运动,则有,其中力矩角加速度

定轴转动动能[编辑]

一般物件的动能。将速度和质量,用转动力学的定义取代:

得出

简化得

如果一个人坐在一张可转动的椅子,双手拿重物,张开双手,转动椅子,然后突然将手缩到胸前,转动的速度将突然增加,因为转动惯量减少了。

常用定理[编辑]

平行轴定理[编辑]

平行轴定理是说,如果一个质量为的物件,以某条经过质心点的直线为轴,其转动惯量为。在空间取点,使得垂直于原本的轴。那么如果以经过、平行于原本的轴的直线为轴,的距离为,则

垂直轴定理[编辑]

垂直轴定理是说,如果一个平面物件,以该平面内两条互相垂直、交于点的直线为轴,转动惯量分别为,则它以过点且垂直于该平面的直线为轴的转动惯量

伸展定则[编辑]

伸展定则是说,如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移,该物件对该轴的转动惯量不变。

惯性张量[编辑]

对于三维空间中任意一参考点与以此参考点为原点的直角坐标系,一个刚体的惯性张量

(1)

这里,矩阵的对角元素分别为对于-轴、-轴、-轴的转动惯量。设定为微小质量对于点的相对位置。则这些转动惯量以方程定义为

(2)

矩阵的非对角元素,称为惯量积,以方程定义为

(3)

导引[编辑]

图A

如图,一个刚体对于质心与以点为原点的直角坐标系的角动量定义为

这里,代表微小质量坐标系的位置,代表微小质量的速度。因为速度是角速度叉积位置,所以,

计算-轴分量,

相似地计算-轴与-轴分量,角动量为

如果,我们用方程(1)设定对于质心的惯性张量,让角速度,那么,

(4)

平行轴定理[编辑]

平行轴定理能够很简易的,从对于一个以质心为原点的坐标系统的惯性张量,转换至另外一个平行的坐标系统。假若已知刚体对于质心的惯性张量,而质心的位置是,则刚体对于原点的惯性张量,依照平行轴定理,可以表述为

(5)
(6)

证明:

图B

a)参考图B,让分别为微小质量对质心与原点的相对位置:

依照方程(2),

所以,

相似地,可以求得的方程。

b)依照方程(3),

因为,所以

相似地,可以求得对于点的其他惯量积方程。

对于任意轴的转动惯量[编辑]

图C

参视图C,设定点为直角坐标系的原点,点为三维空间里任意一点,不等于。思考一个刚体,对于-轴的转动惯量是

这里,是微小质量-轴的垂直距离,是沿着-轴的单位矢量是微小质量的位置。

展开叉积,

稍微加以编排,

特别注意,从方程(2)、(3),这些积分项目,分别是刚体对于-轴、-轴、-轴的转动惯量与惯量积。因此,

(7)

如果已经知道,刚体对于直角坐标系的三个坐标轴,-轴、-轴、-轴的转动惯量。那么,对于-轴的转动惯量,可以用此方程求得。

主转动惯量[编辑]

因为惯性张量是个实值的三维对称矩阵,我们可以用对角线化,将惯量积变为零,使惯性张量成为一个对角矩阵[2]。所得到的三个特征值必是正实值;三个特征矢量必定互相正交

换另外一种方法,我们需要解析特征方程

(8)

也就是以下行列式等于零的的三次方程

这方程的三个根都是正实的特征值。将特征值代入方程(8),再加上方向余弦方程,

我们可以求到特征矢量。这些特征矢量都是刚体的惯量主轴;而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量

假设-轴、-轴、-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为,角速度是。那么,角动量为

动能[编辑]

刚体的动能可以定义为

这里,是刚体质心的速度,是微小质量相对于质心的速度。在方程里,等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能,第二个项目是刚体旋转运动的动能。由于这旋转运动是绕着质心转动的,

这里,是微小质量绕着质心的角速度,对于质心的相对位置。

应用矢量恒等式,可以得到

或者,用矩阵来表达,

所以,刚体的动能为

(9)

假设-轴、-轴、-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为,角速度是。那么,刚体的动能为

(10)

计算范例[编辑]

细长棒子的转动惯量是
当自转轴移到末端,转动惯量是

利用线密度可轻易计算出细长棒子沿质心(CM)自转的转动惯量。

当自转轴移到末端,转动惯量变成:

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 普通物理学(修订版,化学数学专业用)。汪昭义主编。华东师范大学出版社.P81.三、转动惯量.ISBN 978-7-5617-0444-8/N·018
  2. ^ O'Nan, Michael. Linear Algebra. USA: Harcourt Brace Jovanovich, Inc. 1971: pp。361. ISBN 0-15-518558-6 (英语). 
  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-230492-3

外部链接[编辑]