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牛顿第三运动定律

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經典力學裏,牛顿第三定律Newton's third law)表明,當兩個物體互相作用時,彼此施加於對方的力,其大小相等、方向相反。[1]必會成雙結對地出現:其中一道力稱為「作用力」;而另一道力則稱為「反作用力」(拉丁語 actioreactio 的翻譯),又稱「抗力」;兩道力的大小相等、方向相反。它們之間的分辨,是純然任意的;任何一道力都可以被認為是作用力,而其對應的力自然地成為伴隨的反作用力。這成對的作用力與反作用力稱為「配對力」。牛顿第三定律又稱為「作用與反作用定律」,在本文內簡稱為「第三定律」。

第三定律以方程式表達為

\sum \mathbf{F}_{A,B}  = - \sum \mathbf{F}_{B,A}

其中,\mathbf{F}_{A,B} 是物體B施加於物體A的力,\mathbf{F}_{B,A} 是物體A施加於物體B的力。

两种版本[编辑]

當兩個帶電粒子都以相同速度 \mathbf{v} 移動時,帶正電粒子 +q 會感受到電場力 \mathbf{F}_E磁場力 \mathbf{F}_M淨力 \mathbf{F}_T ,帶負電粒子 -q 會感受到電場力 -\mathbf{F}_E 、磁場力 -\mathbf{F}_M 與淨力 -\mathbf{F}_T 。注意到作用力 \mathbf{F}_T 和反作用力 -\mathbf{F}_T 不同線。在本圖內,速度 \mathbf{v} 的大小不按比例繪製。

作用與反作用定律又分为两种版本:强版本和弱版本。这里,第三定律所表述的是「弱版作用與反作用定律」。而「强版作用與反作用定律」,除了弱版作用與反作用定律所要求的以外,还要求作用力和反作用力都作用在同一条直线上。万有引力静电力都遵守强版作用與反作用定律。可是,在某些状况下,作用力和反作用力并不同线(两作用点的連线)。例如,两个呈平移運動电荷,其平移速度相同,但是,并不垂直于两电荷的连线,由必歐-沙伐點電荷定律洛伦兹力定律所算出的作用力和反作用力并不同線。这對力只遵守弱版作用與反作用定律。又例如,假設两個呈平移運動的电荷,其移動的速度相互垂直,則它們各自感受到的電磁力不遵守弱版作用與反作用定律。[2]:7[3]:349-351

牛頓的論述[编辑]

拉丁文原版第三定律的英文與中文翻譯分別為[4]

To every action there is always opposed an equal reaction: or the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.

每一個作用力都對應著一個相等反抗的反作用力:也就是說,兩個物體彼此施加於對方的力總是大小相等、方向相反。

馬拉石頭案例示意圖。同樣顏色的兩個向量標誌代表一對作用力與反作用力。

牛頓用馬拉石頭的例子来解釋。假設用馬來拖拉石頭,則馬也會同樣地被石頭拖拉,因為分別在兩端繫住馬和石頭的繩索,其施加於馬的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 來自於石頭的拖拉,會趨於將馬拉向石頭,如同其施加於石頭的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 來自於馬的拖拉,會趨於將石頭拉向馬一般,這力 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 會阻礙馬的拖拉,如同力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 會促使石頭的前進一般。

既然馬與石頭都同樣拖拉對方,為什麼馬與石頭會朝著馬的方向(稱為前方)前進,而不是朝著石頭的方向(稱為後方)前進?這是因為馬與石頭已經朝著前方呈勻速運動前進,石頭感受到來自於馬的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 恰巧抵銷了石頭遭遇的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} (朝著後方),即 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}=-\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} ,沒有淨力促使其加速或減速,馬感受到來自於石頭的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 又恰巧抵銷了地面施加於馬的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} (朝著前方), \mathbf{T}_{\mathrm{h,s}}=-\mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} ,淨力也等於零,所以馬與石頭仍舊會朝著馬的方向呈勻速運動。注意到 \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}}\mathbf{T}_{\mathrm{h,s}} 不是一對作用力與反作用力; \mathbf{f}_{\mathrm{h,g}} 與馬施加於地面的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{g,h}} 是一對作用力與反作用力。同樣地,\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}}\mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 不是一對作用力與反作用力; \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} 與馬施加於地面的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{g,s}} 是一對作用力與反作用力。

假設在最開始時,馬與石頭都呈靜止狀態,而石頭感受到來自於馬的張力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}} 大於石頭遭遇的摩擦力 \mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} ,即 |\mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}|>|\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}}| ,則石頭感受到的淨力 \mathbf{T}_{\mathrm{s,h}}+\mathbf{f}_{\mathrm{s,g}} 會促使石頭呈加速度運動。由這加速度運動所生成的慣性力,其與淨力之間的關係為大小相等、方向相反。

牛頓然後談到碰撞問題。假設物體A碰撞到物體B,改變了物體B的運動,則物體A也會朝反方向改變運動。由於這碰撞而造成的兩個物體各自對應的運動改變,假設沒有其它外力介入,則其動量的改變等同,而不是速度的改變等同。由於兩個物體各自的動量改變,其大小相等、方向相反,所以每個物體的速度改變與質量成反比。

牛頓用第三定律來推導出動量守恆[4]但是,根據高等物理理論,動量守恆比第三定律更為基礎(應用諾特定理,可以從伽利略不變性推導出動量守恆)。更普遍的动量守恒并不依赖于牛顿定律[3]:349-351[5]

為了要證實第三定律的正確性,牛頓想出一個實驗。假設在兩個互相吸引的物體A、B之間,置入一個隔離體C,防阻物體A、B聚集在一起。假若物體A或物體B之中有任何一個物體感受到更大的吸引力,例如,假若物體A感受到的吸引力大於物體B感受到的吸引力,則與物體B施加於隔離體C的壓力相比,物體A會施加更大的壓力於隔離體C。因此,隔離體C不會處於平衡狀態,它會與物體A、B共同朝著物體B的方向移動,而且永遠呈加速度運動。這樣的結果違背了第一定律。根據第一定律,假若無外力施加,則物體物體的運動速度不會改變。所以,物體A、B分別施加於隔離體C的壓力,應該大小相等、方向相反;物體A、B彼此施加於對方的吸引力,也應該大小相等、方向相反。[4]

做這實驗並不困難。牛頓將磁石與鐵塊分別置入兩隻浮於水上的小船。由於磁石與鐵塊之間的吸引力,兩隻小船互相吸引,碰撞在一起,達成平衡靜止狀態。這樣,牛頓證實了第三定律正確無誤。[4]

成雙結對的配對力[编辑]

根據第三定律,力是物體與物體之間的相互作用,必會成雙結對地出現:[6]其中一個力稱為「作用力」;而另一個力則稱為「反作用力」(拉丁語 actioreactio 的翻譯),又稱「抗力」;兩個力的大小相等、方向相反。它們之間的分辨,是純然任意的;任何一個力都可以被認為是作用力,而其對應的力自然地成為伴隨的反作用力。這成對的作用力與反作用力稱為「配對力」或「第三定律配對力」。[1]第三定律又稱為「作用與反作用定律」。

兩位溜冰者彼此施加作用力於對方。

如右圖所示,兩位溜冰者溜冰者彼此施加於對方的力,大小相同,方向相反。雖然彼此施加的力的大小相同,兩者各自的加速度並不一樣。根據第二定律,質量較輕者的加速度比較大。

錯誤和正確的基本物理概念[编辑]

作用力與反作用力這基本物理概念,時常會被許多人一知半解地應用。這也許是因為以下幾個原因:教導水平太低、經常有許多學術界刊物(包括教科書)作不正確地闡述、偶然翻閱,牛頓運動定律顯得相當反直覺。第三定律的現代字句為

當兩個物體互相作用時,彼此施加於對方的力,其大小相等、方向相反。

在這裡,必須清楚明瞭一個重點:這反作用力是施加於另外一個物體,而不是施加於感受到作用力的物體。舉例而言,假設物體A、B彼此施加萬有引力於對方,當物體A施加吸引力於物體B時(作用力),物體B也同時施加吸引力於物體A(大小相等、方向相反的反作用力)。

另外有一點必須銘記在心:這反作用力與作用力的物理本質是完全相同的。假若作用力的本質是萬有引力,那麼,反作用力的本質也是萬有引力。假若,作用力與反作用力的物理本質不相同,則此分析必不正確;絕對不能接受這不正確的分析。

正確分析實例[编辑]

  • 環繞著太陽地球依循軌道運行。這是因為地球感受到太陽的萬有引力(作用力)。這裏,作用力的角色是向心力,吸引地球在太陽的附近。同時,太陽感受到地球的萬有引力(反作用力),與作用力大小相等、方向相反(在這裏,吸引著太陽往地球移動) 。因為太陽的質量超大於地球,看起來地球的吸引對於太陽並沒有造成任何影響;實際而言,太陽有被地球影響。關於這兩個天體的共同運動(忽略所有其它天體),一個正確的描述是,環繞著整個系統的質心,它們都依循軌道運行。
  • 思考一個鉛球,懸掛在一根(不能伸展的)鋼纜的末端。而鋼纜的另一端緊繫於實驗室的天花板。因為萬有引力,鉛球被地球吸引(作用力)。對應的反作用力是鉛球施加於地球的萬有引力: 這與鋼纜完全無關;實際上,甚至在沒有鋼纜時,反作用力仍舊存在。從另一方面看,如果鋼纜的張力將鉛球向上拉,阻止它下落,那麼鉛球也同時以張力拉著鋼纜,其大小相等、方向相反。如果,對於天花板,這簡單的系統是靜止的(絕對沒有加速度),根據牛頓第一定律,鉛球感受到的淨外力等於零,這淨外力是兩種不同力(地球的地心引力與鋼纜的張力)的向量和。這兩種力的大小相等、方向相反;也就是說,它們互補。但是,這並不表示它們是一對作用力與反作用力,它們不是一對作用力與反作用力。
  • 為了要檢查這些概念的解釋是否正確,可以將鋼纜改換為彈簧。如果這新系統最初是靜止的(相對於實驗室參考系)。則前面的分析也適合。但是,如果,這系統現在感受到微擾(例如,鉛球被輕輕的推一下或拉一下),鉛球會開始上下震動。由於加速度的產生,根據牛頓第一定律,淨外力不等於零。可是,鉛球與地球的質量都沒有改變;鉛球與地球質心之間的距離也幾乎一樣。所以,源於萬有引力的作用力與反作用力仍舊不變。不同的是現在這系統已變為動力系統,鉛球感受到的萬有引力暫時地與彈力失去平衡。彈力的大小與方向都隨時間而改變(震動頻律跟彈簧的弹簧常数有關)。弹力和弹簧的长度变化量成線性關係。

錯誤分析實例[编辑]

  • 第三定律時常會以一種簡單的,但不完全或不正確的句子陳述:
作用力反作用力的大小相等、方向相反。
對於每一道作用力,都有一道大小相等、方向相反的反作用力
這些句子沒有清楚地表述出,作用力反作用力是施加於不同的物體。並不是因為兩道力恰巧大小相等、方向相反,它們就能夠自動形成,符合第三定律的,一個「作用力-反作用力」的力對。
穩定置放在桌子上的書本感受到的各種力。
  • 作用力與反作用力問題時常會跟靜態平衡static equilibrium)混淆。例如,思考這個句子:
如右圖所示,一本書穩定地置放在桌子上。書的重量 m\mathbf{g} ,一道將它往下拉的力,與桌子的反作用力 \mathbf{N} ,一道將它往上推的力,兩道力互相平衡。
這句子並不符合第三定律的正確含意。這兩道力的本質不同,這兩到力都施加於同一個物體,它們不可能成為作用力-反作用力的力對。實際而言,書本施加於桌子的接觸力 \mathbf{F}_C ,其反作用力是桌子施加於書本的力 \mathbf{N} ,而這接觸力 \mathbf{F}_C 等於書的重量 m\mathbf{g} 。無論如何,靜止的概念與第三定律毫不相關。
  • 另外一個非常常見的錯誤想法:
離心力向心力反作用力
明顯地,如果一個物體,同時受到一道離心力與一道大小相等、方向相反的向心力淨力等於零;這物體不會呈圓周運動離心力是道偽力fictitious force):只有從非慣性參考系觀測,才會測量出或計算出離心力的存在。

參閱[编辑]

麻省理工學院物理教授瓦尔特·列文Walter Lewin)講解第三定律。[7]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Halliday, David; Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamental of Physics 7th, USA: John Wiley and Sons, Inc.: pp. 88f, 2005, ISBN 0-471-23231-9 
  2. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980. ISBN 0201657023. 
  3. ^ 3.0 3.1 Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-805326-X 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Newton 1846,第83-93页
  5. ^ 赵超先. 对有电磁作用时的牛顿第三定律的讨论. 《现代物理知识》. 
  6. ^ C Hellingman. Newton's third law revisited. Phys. Educ. 1992, 27 (2): 112–115. Bibcode:1992PhyEd..27..112H. doi:10.1088/0031-9120/27/2/011. Quoting Newton in the Principia: It is not one action by which the Sun attracts Jupiter, and another by which Jupiter attracts the Sun; but it is one action by which the Sun and Jupiter mutually endeavour to come nearer together. 
  7. ^ Walter Lewin, Newton's First, Second, and Third Laws, Lecture 6. (14:11–16:00)