-1

数表 — 整数 -1 0 >>
小写	负一
大写	负壹
质因数分解	$-1$
二进制	-1
八进制	-1
十二进制	-1
十六进制	-1

在數學中，負一（英语：Negative One）計作 −1，是 1 的加法逆元，即當 −1 加上 1 之後就變為 0。−1 是介於 −2 與 0 之間的整數，亦是最大的負整數。

負一與歐拉恆等式相關聯，此恆等式表示為$e^{i\pi }=-1\!$。

在軟體開發中，用來表示變量包含無用的信息，亦能做為函數錯誤時的傳回值。

在编程语言中，取决于第一个元素是用 0 还是 1 表示，−1 可以用来索引数组的最后一个元素，或者倒数第二个元素。

−1 和 1 有许多相似但略有不同的特性。

代數性質

將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由分配律，以及1是乘法運算的單位元之公理，對於實數x，我們得到

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

這裡我們使用了"任意實數x乘上0等於0"，將x從等式中約掉。

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

複平面或直角坐標系上的0, 1, −1, i, 和 −i

也就是，

$x+(-1)\cdot x=0\,$

故(−1) · x是 x的相反數。

負一平方

−1的平方亦即−1乘於−1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據"−1是1的加法逆元"。 再使用分配律，我們得到

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

第三個等式依據是：1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

$(-1)\cdot (-1)=1$

以上運算適用於任意環。

負一的平方根

複數i滿足i² = −1，也可視為-1的平方根。另一个能滿足x² = −1的複數x是−i。四元數的代數包含複數平面，等式x² = −1擁有無限多組解。

負一的乘冪

我們定義$x^{-1}={\frac {1}{x}}$，即代數x的−1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律$x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}\ a,b\in \mathbb {R}$ 。 負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義$x^{-1}$作為$x$的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是反函數與反矩陣。例如：$f^{-1}(x)$是$f(x)$的反函數，$\sin ^{-1}(x)$是反正弦函數。

负一的对数

包括-1在内的所有负数在实数域中是没有对数的，但在复数域，根据欧拉恒等式$e^{i\pi }+1=0$，可以得出-1的自然对数$\ln {(-1)}=i\pi$。

歸納維數

空集的歸納維數被定義為-1。

計算機的表示法

大多數計算機系統使用二補數來表示負號整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有號整數系統表示，即為"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為無號整數，n個一將表示為2ⁿ − 1，且較有號整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為2⁸ − 1 = 255。

參見條目

• 1：-1的相反數
• 数表