1 + 2 + 4 + 8 + …

维基百科,自由的百科全书
(重定向自1+2+4+8+…
跳转至: 导航搜索

数学领域,1 + 2 + 4 + 8 + … 是一个无穷级数,它的每一项都是2的幂。作为几何级数,它以 1 为首项,2 为公比。

\sum_{k=0}^{n} 2^k.

作为实数级数,他发散无穷,所以在一般意义下它的和不存在。

如果以代數運算的方式來計算這個數列的和,雖然可以得到∞以及-1這兩個值,但這必須在更廣泛的意義中才能成立。

历史数学教育1 + 2 + 4 + 8 + …是正项发散几何级数的一个基本例子。许多结果和争论引出了许多类似级数,其他的例子如2 + 6 + 18 + 54 + …

求和[编辑]

1 + 2 + 4 + 8 + … 的部分和数列是 1, 3, 7, 15, …,由于该数列发散到无穷,所以部分和数列也发散到无穷。因此任何通常求和方法得到的和将是无穷,包括切萨罗求和法阿贝尔求和法[1]

另一方面,有一种广义方法使得 1 + 2 + 4 + 8 + … 的和为有限值 -1。相应的幂级数

f(x) = 1+2x+4x^2+8x^3+\cdots+2^n{}x^n+\cdots = \frac{1}{1-2x}

收敛半径1/2,因此它在 x = 1 时不收敛。然而,这样定义的函数 f 在去掉点 x = 1/2 后,具有到复平面唯一的解析开拓,并且具有相同的形式 f(x) = 1/(1 − 2x)。由于 f(1) = −1,原级数 1 + 2 + 4 + 8 + … 是可求和的 (E),其和为 −1,并且 -1 是级数的(E)和。(此標識方式是由戈弗雷·哈羅德·哈代參考萊昂哈德·歐拉在无穷級數上的研究而得)[2]

用几乎完全相同的方法可以考虑系数为 1 的幂级数,例如

1+y+y^2+y^3+\cdots = \frac{1}{1-y}

并用 y = 2 代入。当然这两个级数可由关系式 y = 2x 等价转换。

事实上(E)和为1 + 2 + 4 + 8 + …分配了一个有限值,这表明广义方法不是完全符合惯例的。另一方面,他具有某些求和法可取的性质,包括稳定性和线性性质。这些后面的两个公理实际上强制级数的和为 -1,因此它令下面的操作有效:

\begin{array}{rcl}
s & = &\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots) \\[1em]
  & = &\displaystyle 1+2s
\end{array}

在某种意义下,s = ∞ 是方程 s = 1 + 2s的一个解(例如∞是黎曼球莫比乌斯变换z → 1 + 2z 的两个不动点之一)。如果某种已知的求和方法返回一个常数s例如不是∞,那么这是容易确定的。在这种情形下s可能由方程的两边消去,得到 0 = 1 + s,所以 s = −1[3]

注释[编辑]

  1. ^ Hardy p.10
  2. ^ Hardy pp.8, 10
  3. ^ The two roots of s = 1 + 2s are briefly touched on by Hardy p.19.

参考文献[编辑]

更多资料[编辑]