本条目中,向量 與标量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如,位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
表示;而其大小則用
r
{\displaystyle r\,\!}
來表示。 檢驗變數或場變數 的標記的後面沒有單撇號「
′
{\displaystyle '\,\!}
」;源變數的標記的後面有單撇號「
′
{\displaystyle '\,\!}
」。
在電磁學 裏,推遲勢 指的是,響應含時電荷 分佈或含時電流 分佈,而產生的推遲純量勢 或推遲向量勢 。對於這程序,由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係,訊號以光速 從源位置傳播到場位置,需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈,必須經過一段時間之後,才能夠將其影響傳播到場位置,產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。
理論概念
給予在源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
的含時電荷分佈或含時電流分佈,計算在場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
產生的推遲勢。
對於靜態的電荷分佈和電流分佈,電勢
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
和磁向量勢
A
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}
分別定義為
Φ
(
r
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
、
A
(
r
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
;
其中,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
是場位置,
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
是源位置,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
是真空電容率 ,
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}}
是真空磁導率 ,
ρ
{\displaystyle \rho }
是電荷密度 ,
J
{\displaystyle \mathbf {J} }
是電流密度 ,
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
是體積分的空間,
d
3
r
′
{\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '}
是微小體元素。
在電動力學 裏,這兩個方程式必須加以延伸,才能正確地響應含時電流 分佈或含時電荷 分佈。定義推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
為檢驗時間
t
{\displaystyle t}
減去電磁波 傳播的時間:
t
r
=
d
e
f
t
−
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
;
其中,
c
{\displaystyle c}
是光速。
假設,從源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
往場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間
t
{\displaystyle t}
抵達觀測者的場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
,則這束電磁波發射的時間是推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
。由於電磁波 傳播於真空 的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間
t
{\displaystyle t}
,會不同於這電磁波發射的推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
。
推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
與推遲向量勢
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
分別用方程式定義為
Φ
(
r
,
t
)
=
d
e
f
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
、
A
(
r
,
t
)
=
d
e
f
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
。
請注意,在這兩個含時方程式內,源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
有關,而不是與時間無關。
這兩個含時方程式,是用推理得到的啟發式 ,而不是用任何定律 或公理 推導出來的。訊號以光速傳播,從源位置到場位置,需要有限時間。所以在時間
t
{\displaystyle t}
的推遲勢必定是由在推遲時間
t
r
{\displaystyle t_{r}}
的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性,必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式 [1] 。還有,勞侖次規範 是一個常用的規範,可以較便利地解析電磁輻射 的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件 的證明。
非齊次的電磁波方程式
含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢,必須遵守达朗贝尔方程 ,表達為[2] :1
∇
2
Φ
(
r
,
t
)
−
1
c
2
∂
2
Φ
(
r
,
t
)
∂
t
2
=
−
ρ
(
r
,
t
)
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}}
、
∇
2
A
(
r
,
t
)
−
1
c
2
∂
2
A
(
r
,
t
)
∂
t
2
=
−
μ
0
J
(
r
,
t
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)}
。
假若,這些用啟發法推理得到的推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
和推遲向量勢
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
不能滿足非齊次的電磁波方程式,那麼,這些推遲勢很可能有重大錯誤,無法適用於期望的用途(從含時源生成電磁輻射)。
設定
R
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}
為從源位置到場位置的分離向量:
R
=
r
−
r
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '}
。
場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
和時間
t
{\displaystyle t}
都是自變數 (independent variable )。分離向量
R
{\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}
和其大小
R
{\displaystyle {\mathfrak {R}}}
都是應變數 (dependent variable ),跟場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
、源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
有關。推遲時間
t
r
=
t
−
R
/
c
{\displaystyle t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c}
也是應變數,跟時間
t
{\displaystyle t}
、分離距離
R
{\displaystyle {\mathfrak {R}}}
有關。
推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
的梯度 是
∇
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
∇
(
ρ
(
r
′
,
t
r
)
R
)
d
3
r
′
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
[
∇
ρ
(
r
′
,
t
r
)
R
+
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∇
(
1
R
)
]
d
3
r
′
{\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '}
。
源電荷密度
ρ
(
r
′
,
t
r
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}
的全微分 是
d
ρ
(
r
′
,
t
r
)
=
∇
′
ρ
⋅
d
r
′
+
∂
ρ
∂
t
r
d
t
r
=
∇
′
ρ
⋅
d
r
′
+
∂
ρ
∂
t
r
(
∂
t
r
∂
t
d
t
+
∂
t
r
∂
R
d
R
)
=
∇
′
ρ
⋅
d
r
′
+
∂
ρ
∂
t
r
(
d
t
−
1
c
d
R
)
=
∇
′
ρ
⋅
d
r
′
+
∂
ρ
∂
t
r
[
d
t
−
1
c
(
∇
R
⋅
d
r
)
+
∇
′
R
⋅
d
r
′
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}}
。
注意到
∂
ρ
(
r
′
,
t
)
∂
t
=
∂
t
r
∂
t
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
r
=
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
r
{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}}
、
∇
R
=
R
^
{\displaystyle \nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}}
。
所以,源電荷密度
ρ
(
r
′
,
t
r
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}
的梯度是
∇
ρ
(
r
′
,
t
r
)
=
−
1
c
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
r
∇
R
=
−
1
c
∂
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∂
t
R
^
=
−
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
R
^
{\displaystyle \nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}}
;
其中,
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
{\displaystyle {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}
定義為
∂
ρ
(
r
′
,
t
)
∂
t
r
{\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}}
。
將這公式代入,推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
的梯度是
∇
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
[
−
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
R
^
R
−
ρ
(
r
′
,
t
r
)
(
R
^
R
2
)
]
d
3
r
′
{\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '}
。
推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
的拉普拉斯算符 是
∇
2
Φ
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
[
−
∇
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
⋅
R
^
R
−
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
∇
⋅
(
R
^
R
)
−
[
∇
ρ
(
r
′
,
t
r
)
]
⋅
(
R
^
R
2
)
−
ρ
(
r
′
,
t
r
)
∇
⋅
(
R
^
R
2
)
]
d
3
r
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
[
−
ρ
¨
(
r
′
,
t
r
)
c
2
R
−
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
R
2
+
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
R
2
−
4
π
ρ
(
r
′
,
t
r
)
δ
3
(
R
)
]
d
3
r
′
=
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
[
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
r
)
R
d
3
r
′
]
−
ρ
(
r
,
t
)
ϵ
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}}
;
其中,
δ
3
(
R
)
{\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})}
是三維狄拉克δ函數 。
所以,推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式
∇
2
Φ
(
r
,
t
)
+
1
c
2
∂
2
Φ
(
r
,
t
)
∂
t
2
=
−
ρ
(
r
,
t
)
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}}
。
類似地,可以證明推遲向量勢
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
滿足非齊次的電磁波方程式。
勞侖次規範條件
給予磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
,並不是只有一個向量場
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
滿足條件
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式 ,
∇
×
(
∇
λ
)
=
0
{\displaystyle \nabla \times (\nabla \lambda )=0}
,給予任意函數
λ
{\displaystyle \lambda }
,那麼,
A
=
A
+
∇
λ
{\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda }
也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由 。
物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏,勞侖次規範是一個常用的規範,可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為
∇
⋅
A
+
1
c
2
∂
Φ
∂
t
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0}
。
按照前述方法,可以證明推遲純量勢
Φ
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)}
和推遲向量勢
A
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)}
滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。
廣義的含時電磁場
推遲勢與電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
、磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的關係分別為
E
=
−
∇
Φ
−
∂
A
∂
t
{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
、
B
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }
。
按照前述方法,可以得到電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
和磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
的方程式,又稱為傑斐緬柯方程式 [1] :
E
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
[
ρ
(
r
′
,
t
r
)
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
3
+
ρ
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
r
−
r
′
|
r
−
r
′
|
2
−
J
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
2
|
r
−
r
′
|
]
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '}
、
B
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
V
′
[
J
(
r
′
,
t
r
)
|
r
−
r
′
|
3
+
J
˙
(
r
′
,
t
r
)
c
|
r
−
r
′
|
2
]
×
(
r
−
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '}
。
超前勢
定義超前時間
t
a
{\displaystyle t_{a}}
為現在時間
t
{\displaystyle t}
加上光波傳播的時間:
t
a
=
d
e
f
t
+
|
r
−
r
′
|
c
{\displaystyle t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}}
。
超前純量勢
Φ
a
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}
與超前向量勢
A
a
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}
分別用方程式表達為
Φ
a
(
r
,
t
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
,
t
a
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
、
A
a
(
r
,
t
)
=
μ
0
4
π
∫
V
′
J
(
r
′
,
t
a
)
|
r
−
r
′
|
d
3
r
′
{\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}
。
這兩個方程式表明,在時間
t
{\displaystyle t}
的超前純量勢與超前向量勢,乃是由在超前時間
t
a
{\displaystyle t_{a}}
的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢
Φ
a
(
r
,
t
)
{\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}
與超前向量勢
A
a
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)}
也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範,但它們違反了因果律 。這是很嚴峻的問題,未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏,超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題,並沒有任何實際用途。
參閱
參考文獻
^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X .
^ Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0 .