拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

設

• ${\mathcal {H}}$是實希爾伯特空間，其內積記作$\langle \cdot ,\cdot \rangle$，導出範數$\|\cdot \|$，
• $a(\cdot ,\cdot )$是雙線性型，使得

• 在${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$上連續：

$\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|$，

• 在${\mathcal {H}}$上強制（有稱為${\mathcal {H}}$－橢圓性)：

$\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}$，

• $L$是${\mathcal {H}}$上的連續線性型。

那麼存在唯一的$u\in {\mathcal {H}}$，使得對所有$v\in {\mathcal {H}}$都有$a(u,v)=Lv$：

$(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv$。

而且如果$a$是對稱的，那麼$u$是${\mathcal {H}}$中唯一的元素，使得以下泛函取最小值$J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$，$J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv$對所有$v\in {\mathcal {H}}$，即：

$(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)$。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的$f\in {\mathcal {H}}$，使得$Lv=\langle f,v\rangle$對任意$v\in {\mathcal {H}}$成立。

對所有$u\in {\mathcal {H}}$，映射$v\mapsto a(u,v)$是${\mathcal {H}}$上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的$A_{u}\in {\mathcal {H}}$，使得$a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$對任意$v\in {\mathcal {H}}$成立。易知算子$A:u\mapsto A_{u}$ 是一個${\mathcal {H}}$上連續線性自同態。由此可把$(1)$表示成如下等價形式：

$\exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f$

要證明此命題，只要證得$A$是從${\mathcal {H}}$到${\mathcal {H}}$的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從$a$的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何$v\in {\mathcal {H}}$

$\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|$

從而知對任何$v\in {\mathcal {H}}$

$\|Av\|\geq \alpha \|v\|$ (*)。

這證明了$A$是單射。

要證明滿射，考慮算子$A$在${\mathcal {H}}$內的像${\mathcal {Z}}$。

不等式(*)表示，如$Au_{n}$是柯西序列，那麼$u_{n}$ 是${\mathcal {H}}$內的柯西序列。由${\mathcal {H}}$的完備性，$u_{n}$收斂至$u\in {\mathcal {H}}$。因$A$連續，得出$Au_{n}$收斂至$Au$。

${\mathcal {Z}}$因此為${\mathcal {H}}$中的閉子空間，由投影定理可知${\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }$。

再設元素$w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }$，從定義有$\langle Aw,w\rangle =0$，因此

$\alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0$

故得$w=0$。所以${\mathcal {Z}}^{\perp }$為$\{0\}$，證得$A$是滿射。

自同態$A$是雙射，故在${\mathcal {H}}$內存在唯一的$u$使得$Au=f$，且可以由$u=A^{-1}f$得出。

附注

不用求出$u$，有其範數的上界估計

$\|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}$

其中$\|\cdot \|'$表示對偶空間${\mathcal {H}}^{*}$的範數。

對稱情形

如果雙線性型$a$對稱，那麼對所有$w\in {\mathcal {H}}$有：

$J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

因$u$是命題(1)的唯一解，有

$J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)$

從$a$的強制性有：

$J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}$

取$v=u+w$，從上式有$J(u)\leq J(v)$對任意$v\in {\mathcal {H}}$成立，因而得到$(2)$的結果。

應用

這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在${\mathcal {H}}$內求$u$，而是在${\mathcal {H}}$的有限$n$維子空間${\mathcal {H}}_{n}$內求$u_{n}$，那麼

• 如果$a$對稱，以$a$為內積，$u_{n}$是$u$的投影。
• 給出${\mathcal {H}}_{n}$的基$(\varphi _{i})$，上述問題化為求解線性方程組：

${\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}$

其中$A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})$，$b_{i}=L\varphi _{i}$。

泛函分析中的定理

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