拉克斯-米爾格拉姆定理

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拉克斯-米爾格拉姆定理數學泛函分析的定理,以彼得·拉克斯阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程,因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述[編輯]

  • 是實希爾伯特空間,其內積記作,導出範數
  • 雙線性型,使得
  • 連續
  • 強制(有稱為-橢圓性):
  • 上的連續線性型

那麼存在唯一的,使得對所有都有

而且如果對稱的,那麼中唯一的元素,使得以下泛函最小值對所有,即:

證明[編輯]

一般情形[編輯]

套用里斯表示定理到連續線性型上,可知存在唯一的,使得對任意成立。

對所有,映射上連續線性型,因此同樣可知存在唯一的,使得對任意成立。易知算子 是一個上連續線性自同態。由此可把表示成如下等價形式:

要證明此命題,只要證得是從雙射。首先證明它是單射,再證它是滿射

的強制性,使用柯西-施瓦茨不等式,得到對任何

從而知對任何

(*)。

這證明了是單射。

要證明滿射,考慮算子內的

不等式(*)表示,如柯西序列,那麼內的柯西序列。由的完備性,收斂至。因連續,得出收斂至

因此為中的子空間,由投影定理可知

再設元素,從定義有,因此

故得。所以,證得是滿射。

自同態是雙射,故在內存在唯一的使得,且可以由得出。

附註[編輯]

不用求出,有其範數的上界估計

其中表示對偶空間的範數。

對稱情形[編輯]

如果雙線性型對稱,那麼對所有有:

是命題(1)的唯一解,有

的強制性有:

,從上式有對任意成立,因而得到的結果。

應用[編輯]

這定理是有限元法的基礎。實際上,若不在內求,而是在的有限維子空間內求,那麼

  • 如果對稱,以內積的投影。
  • 給出,上述問題化為求解線性方程組:

其中