拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（英語：Laplace expansion，或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个$n\times n$矩阵$B$的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵$B$的某一行（或某一列）的$n$个元素的$(n-1)\times (n-1)$余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵$B$有$n$行$n$列，它的拉普拉斯展开一共有$2n$种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于$k$行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是$B$的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵$B$之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式

设B = (b_ij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式M_ij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：C_ij是指B的（i，j）余子式M_ij与(−1)^{i + j}的乘积：C_ij = (−1)^{i + j} M_ij

拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

${\begin{aligned}|B|&{}=b_{i1}C_{i1}+b_{i2}C_{i2}+\cdots +b_{in}C_{in}\\&{}=b_{1j}C_{1j}+b_{2j}C_{2j}+\cdots +b_{nj}C_{nj}\end{aligned}}$

例子

考虑以下的矩阵：

$B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$。

这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

$|B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}$

${}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0$。

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

$|B|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}$

${}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0$。

很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

证明

设$B$是一个$n\times n$ 的矩阵，$i,j\in \{1,2,...,n\}$。为了明确起见，将$M_{ij}$的系数记为$(a_{st})$，其中$1\leq s,t\leq n-1$.

考虑$B$的行列式$|B|$中的每个含有$b_{ij}$的项，它的形式为：

$\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}$

其中的置换$\tau \in S_{n}$使得$\tau (i)=j$，而$\sigma \in S_{n-1}$是唯一的将除了$i$以外的其他元素都映射到与$\tau$相同的像上去的置换。显然，每个$\tau$都对应着唯一的$\sigma$，每一个$\sigma$也对应着唯一的$\tau$。因此我们创建了S_n − 1与{τ ∈ S_n : τ(i) = j}之间的一个双射。置换τ可以经过如下方式从σ得到：

定义σ' ∈ S_n使得对于1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) = n，于是sgn σ' = sgn σ。然后

$\tau \,=(n,n-1,\ldots ,i)\,\sigma '\,(j,j+1,\ldots ,n)$。

由于两个轮换分别可以被写成n − i和n − j个对换，因此

$\operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma$。

因此映射σ ↔ τ是双射。由此，

$\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}$	$\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}$
	$=\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}$
	$=\ b_{ij}(-1)^{i+j}|M_{ij}|,$

从而拉普拉斯展开成立。

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

参考来源

• 拉普拉斯定理
• 线性代数发展史
• 行列式的展开定理
• 戴立辉，线性代数，同济大学出版社，2007.