等谐数列

等谐数列，又名调和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等谐数列中，任何相邻两项倒数的差相等，该差值的倒数称为公谐差（common harmonic difference）。

例如数列：

¹/₃ , ¹/₅ , ¹/₇ , ¹/₉ , ¹/₁₁ , ¹/₁₃ , ...

就是一个等谐数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公谐差都等于 ¹/₂。

性质

如果一个等谐数列的首项记作 a，公谐差记作 h，那么该等谐数列第 n 项 a_n 的一般项为：

$a_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}$

换句话说，任意一个等谐数列 {a_n} 都可以写成

$\{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}$

在一个等谐数列中，给定任意两相连项 a_n+1 和 a_n ，可知公谐差

$h={\frac {1}{{\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

给定任意两项 a_m 和 a_n ，则有公谐差

$h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a_{m}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}$

此外，在一个等谐数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之倒数和，为原来该项倒数的两倍。举例来说，${\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{3}}}={\frac {2}{a_{2}}}$。

更一般地说，有：

${\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

证明如下：

${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a_{n}}}\\\end{aligned}}$

证毕。

从另一个角度看，等谐数列中的任意一项，是其前一项和后一项的调和平均：

$a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}}}$

此结果从上面直接可得。

如果有正整数 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那么则有：

${\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}$

证明如下：

${\begin{aligned}{\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}\\\end{aligned}}$

由此可将上面的性质一般化成：

${\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}={\frac {2}{a_{n}}}$

$a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}}}$

其中 k 是一个小于 n 的正整数。

给定一个等谐数列 $\{a_{n}\}$，则有：

• $\{b\cdot a_{n}\}$ 是一个等谐数列。
• $\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一个等差数列。

等谐数列和

一个等谐数列的首 n 项之和，称为等谐数列和（sum of harmonic sequence）或调和级数（harmonic series），记作 S_n。

举例来说，等谐数列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} 的和是 ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₉ = ²⁴⁸/₃₁₅。

等谐数列并没有简单的求和公式。但使用以下反常积分，可对数列和以数值积分作估算：

$S_{n}=a\int _{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x$

公式证明如下：

${\begin{aligned}S_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]_{x=0}^{x=1}\\&=a\int _{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}$

最后一步，使用了等比数列的求和公式。

使用上面的例子，对于数列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} ：

${\begin{aligned}S_{4}&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}$

结果相等。

从这公式中容易看出，等谐级数是发散的。

等谐数列积

一个等谐数列的首 n 项之积，称为等谐数列积（product of harmonic sequence），记作 P_n。

举例来说，等谐数列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} 的积是 ¹/₃ × ¹/₅ × ¹/₇ × ¹/₉ = ¹/₉₄₅。

等谐数列积的公式可以Γ函数表示：

$P_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}$

证明如下：

${\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}$

这里使用了等差数列的求积公式。

使用上面的例子，对于数列 {¹/₃, ¹/₅, ¹/₇, ¹/₉} ：

${\begin{aligned}P_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}$

结果相等。

参见

• 序列
• 数列
• 级数
• 调和级数
• 调和平均
• 等差数列
• 等比数列

参考文献

• Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.